Русская Википедия:Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций — утверждения о том, что функция комплексного переменного <math>F(z)</math>, регулярная в некоторой бесконечной области <math>D</math> и непрерывная в <math>\overline{D}</math>, а также ограниченная на границе <math>\partial D</math> области <math>D</math>, или ограничена всюду в <math>\overline{D}</math> или внутри <math>D</math> достаточно быстро растёт — тем "быстрее", чем меньше область <math>D</math>.

Теорема Фрагмена — Линделёфа о верхней полуплоскости

Пусть функция <math>F(z)</math> регулярна в полуплоскости <math>Re z > 0</math> и непрерывна в полуплоскости <math>Re z \geqslant 0</math>, причём <math>\mid F(iy) \mid < C_{0}</math>, <math>-\infty < y < \infty</math>. Тогда или <math>\mid F(z) \mid < C_{0}</math> при всех <math>z</math>, <math>Re z \geqslant 0</math> или функция <math>F(z)</math> имеет в полуплоскости <math>Re z \geqslant 0</math> порядок <math>\rho</math>, не меньший единицы.

Пояснения

Число <math>\rho</math> называется порядком целой функции <math>F(z)</math>, если <math>\rho = \varlimsup_{t \to \infty} \frac{\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r}</math>. Иначе говоря, целая функция имеет порядок <math>\rho</math>, если для любого <math>\epsilon > 0</math> существует константа <math>C_{\epsilon}</math> и последовательность возрастающих к <math>\infty</math> положительных чисел <math>r_{k}</math>, такие, что

<math>\max_{0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi}

\mid F(re^{i\varphi}) \mid \leqslant C_{\epsilon} exp(r^{\rho+\epsilon})</math>, 

<math>r>0</math>,

<math>\max_{0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi}

\mid F(r_{k}e^{i\varphi}) \mid \geqslant C_{\epsilon} exp(r_{k}^{\rho+\epsilon})</math>, 

<math>k=1, 2,</math>.

Доказательство

Доказательство есть в книге Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга