Русская Википедия:Теория Ходжа
Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.
Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:
В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.
Приложения и примеры
Когомологии де Рама
Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многообразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ωk(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов
- <math> 0\rightarrow \mathbb R\xrightarrow{d_{-1}} \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0 </math>
где dk обозначает внешнюю производную на Ωk(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как
- <math>H^k(M)=\frac{\ker d_k}{\mathrm{im}\,d_{k-1}}.</math>
Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый <math>\delta:</math> достаточно потребовать, чтобы для всех α ∈ Ωk(M) и β ∈ Ωk+1(M) выполнялось соотношение
- <math>\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,\delta\beta\rangle_k \,dV</math>
где <math>\langle \ ,\ \rangle_k</math> — метрика, индуцированная на <math>\Omega^k(M)</math>. Теперь лапласиан можно определить как <math>\Delta=d\delta+\delta d</math>. Это позволяет определить пространства гармонических форм:
- <math>\mathcal H_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}.</math>
Можно показать, что <math>d\mathcal H_\Delta^k(M)=0</math>, поэтому существует каноническое отображение <math>\varphi:\mathcal H_\Delta^k(M)\rightarrow H^k(M)</math>. Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что <math>\varphi</math> — это изоморфизм векторных пространств.
Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многообразии конечномерны. Это следует из того, что операторы <math>\Delta</math> эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.
Теория Ходжа для эллиптических комплексов
Структуры Ходжа
Шаблон:Main Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства <math>W</math> структура Ходжа на <math>W</math> — это разложение его комплексификации <math>W^{\mathbb C} = W \otimes \mathbb C</math> в <math>\N</math>-градуированную прямую сумму
- <math>W^{\Complex} = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \bigoplus_{p=0}^{k} W^{p,k-p}</math>
причём комплексное сопряжение на <math>W^{\Complex}</math> переставляет градуированные слагаемые <math>W^{p,q}</math> и <math>W^{q,p}</math>:
- <math>\overline{W^{p,q}} = W^{q,p}</math>
Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами <math>H^k(V,\R)</math> неособого комплексного проективного многообразия <math>V</math> имеют такую структуру Ходжа:
- <math>H^k = \oplus_{p=0}^k H^{p,k-p}</math>
где <math>H^{p,q}</math> — группы когомологий Дольбо многообразия <math>V</math>. Отсюда следует связь между числами Бетти <math>b_k = \dim H^k</math> и <math>h_{p,q} = \dim H^{p,q}</math>:
- <math>b_k = \sum_{p=0}^k h_{p,k-p}</math>
Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку <math>(p,q)</math> (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков <math> H^{q} (V,\Omega^{p}) </math>, в работах Дольбо.
В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.
Литература
