Русская Википедия:Топологическое кольцо
Материал из Онлайн справочника
Топологическое кольцо — кольцо, снабжённое естественной топологией.
Определения
Топологическое кольцо — кольцо с топологией, относительно которой сложение и умножение непрерывны.
В определении топологического поля дополнительно требуется, что взятие обратного <math>x\mapsto x^{-1}</math> непрерывно во всех элементах кроме 0.
Примеры
Топологические кольца
- Кольцо непрерывных вещественно-значных функций на топологическом пространстве с топологией поточечной сходимости.
- Кольцо непрерывных линейных операторов на нормированном пространстве;
- Банахова алгебра.
- Двойные, дуальные и другие гиперкомплексные числа.
Топологические поля
- рациональные, вещественные, комплексные и р-адические числа.
- Локальное поле
Свойства
- Пополнение топологического кольца даёт полное топологическое кольцо.
- Группа единиц <math>K^\times</math> топологического кольца <math>K</math> образуют топологическую группу, с топологией индуцированной вложением в <math>u\mapsto (u,u^{-1})</math>.
- Однако если группа <math>K^\times</math> снабжена топологией как подпространство в <math>K</math>, то она может не быть топологической группой, поскольку в этой топологии отображение <math>u\mapsto u^{-1}</math> не обязано быть непрерывным. Это происходит например в Шаблон:Iw.
Ссылки
