Русская Википедия:Тригамма-функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Trigamma function plot.png

Тригамма-функция действительного аргумента x

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается <math>\psi_{1}(z)</math> и определяется как

<math>\psi_1(z) = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}z^2} \ln\Gamma(z) \; ,</math>

где <math>\Gamma(z)</math> — гамма-функция. Из этого определения следует, что

<math>\psi_1(z) = \fracШаблон:\rm d{{\rm d}z} \psi(z) \; ,</math>

где <math>\psi(z)</math> — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).

Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

<math> \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2}, </math>

откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (Шаблон:Lang-en),

<math> \psi_1(z) = \zeta(2,z)\; . </math>

Эти формулы верны, когда <math>z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots</math> (в указанных точках функция <math>\psi_{1}(z)</math> имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).

Существуют также другие обозначения для <math>\psi_{1}(z)</math>, используемые в литературе:

<math> \psi'(z), \;\;\; \psi^{(1)}(z)\; . </math>

Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции <math>{\displaystyle F'(z)=\psi_{1}(z+1)}</math>.

Интегральные представления

Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

<math> \psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,{\rm d}x\, {\rm d}y\; . </math>

С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

<math> \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,{\rm d}x\; . </math>

Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e^—t:

<math> \psi_1(z) = \int_0^\infty\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\,{\rm d}t\; . </math>

Другие формулы

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

<math> \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2} \; ,</math>

а также формуле дополнения

<math> \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} \; .</math>

Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

<math>\psi_1(kz) = \frac{1}{k^2} \sum_{n=0}^{k-1}

\psi_1\left(z+\frac{n}{k}\right)\; .</math>

Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:

<math> \psi_1(z+1) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}\; . </math>

Частные значения

Ниже приведены частные значения тригамма-функции:

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G\; , </math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac13\right) = \tfrac23 \pi^2 + 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)\; ,</math>

<math> \psi_1\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac12 \pi^2\; ,</math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac23\right) = \tfrac23 \pi^2 - 3\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)\; ,</math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G\; ,</math>

<math> \psi_1(1) \; = \tfrac16 \pi^2\; ,</math>

где G — постоянная Каталана, а <math>\mathrm{Cl}_2(\theta)</math> — Шаблон:Нп3, связанная с мнимой частью дилогарифма через

<math> \mathrm{Cl}_2(\theta) = \mathrm{Im} \left[ \mathrm{Li}_2\!\left(e^{\mathrm{i}\theta}\right) \right]\; . </math>

Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь <math>\psi_{1}\!\left(\tfrac18\right)</math> с функцией Клаузена, получаем:

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac16\right) = 2 \pi^2 + 15\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)\; ,</math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac56\right) = 2 \pi^2 - 15\sqrt{3}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac23\pi\right)\; ,</math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac18\right) = (2 + \sqrt{2}) \pi^2 + 4 (4-\sqrt{2}) G + 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\; ,</math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac38\right) = (2 - \sqrt{2}) \pi^2 - 4 (4+\sqrt{2}) G + 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\; ,</math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac58\right) = (2 - \sqrt{2}) \pi^2 + 4 (4+\sqrt{2}) G - 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\; ,</math>

<math> \psi_{1}\!\left(\tfrac78\right) = (2 + \sqrt{2}) \pi^2 - 4 (4-\sqrt{2}) G - 16\sqrt{2}\;\mathrm{Cl}_2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\; .</math>

Для значений за пределами интервала <math>0<z\leq 1</math> можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например,

<math> \psi_1\!\left(\tfrac54\right) = \pi^2 + 8G - 16\; ,</math>

<math> \psi_1\!\left(\tfrac32\right) = \tfrac12\pi^2-4\; ,</math>

<math> \psi_1(2) \; = \tfrac16\pi^2-1\; .</math>

См. также

• Гамма-функция
• Дигамма-функция
• Полигамма-функция
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Ссылки

• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Шаблон:Нп3, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4
• Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com