Русская Википедия:Тригонометрические константы

Материал из Онлайн справочника
Версия от 23:11, 20 сентября 2023; EducationBot (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Русская Википедия/Панель перехода}} мини|[[Синусы и косинусы основных углов на тригонометрической окружности.]] В данной статье приведены '''точные Алгебраическое выражение|алгебраические вы...»)
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Unit circle angles color.svg
Синусы и косинусы основных углов на тригонометрической окружности.

В данной статье приведены точные алгебраические выражения для некоторых тригонометрических чисел. Такие выражения могут потребоваться, например, для приведения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.

Любое тригонометрическое число алгебраично. Некоторые тригонометрические числа могут быть выражены в комплексных радикалах, однако не всегда в действительных: в частности, среди значений тригонометрических функций в углах, выражающихся целым числом градусов, в действительных радикалах могут быть выражены только значения в тех из них, количество градусов в которых кратно трём. Но по теореме Абеля бывают и те, которые неразрешимы в радикалах.

По Шаблон:Нп5 у синуса с рациональным в градусах аргументом значение либо иррационально, либо равно одному из чисел среди <math>0</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>1</math>, <math>-\frac{1}{2}</math>, <math>-1</math>.

По Шаблон:Нп5 если синус, косинус или тангенс в данной точке дают алгебраическое число, то их аргумент в градусах либо рационален, либо трансцендентен. Иначе говоря, если аргумент в градусах алгебраичен и иррационален, то значения всех тригонометрических функций от этого аргумента будут трансцендентны.

Критерии включения

Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с <math>\pi</math>, выразимы в действительных радикалах, только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на <math>\pi</math>, является степенью двойки, умноженной на произведение нескольких простых чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.

При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от <math>0</math> до <math>\frac{\pi}{2}</math>, верны формулы

<math>\sin{\alpha\over 2}=\sqrt{1-\cos\alpha \over 2}</math>, <math>\cos{\alpha \over 2}=\sqrt{1+\cos\alpha\over 2}</math> и <math>\operatorname{tg}{\alpha \over 2}=\sqrt{1-\cos\alpha \over 1+\cos\alpha}</math>.

Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла <math>\theta</math> формула для Шаблон:Sfrac может быть получена путём решения следующего уравнения третьей степени:

<math>4\cos^3 \frac \theta 3 - 3\cos \frac \theta 3 = \cos\theta,</math>

Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis).

Таблица некоторых часто встречающихся углов

Встречаются различные единицы измерения углов, например, градусы, радианы, обороты, грады (гоны).

<math>1\,\text{полный оборот} = 360^\circ = 2\pi (\mathrm{rad}) = 400 (\mathrm{gon}).</math>

Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от наиболее часто встречающихся углов:

Обороты Градусы Радианы Грады (гоны) Синус Косинус Тангенс
0 0° 0 0 0 1 0
Шаблон:Sfrac 30° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac
Шаблон:Sfrac 45° Шаблон:Sfrac 50 Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac 1
Шаблон:Sfrac 60° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac 90° Шаблон:Sfrac 100 1 0
Шаблон:Sfrac 120° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac 135° Шаблон:Sfrac 150 Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac −1
Шаблон:Sfrac 150° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac
Шаблон:Sfrac 180° <math>\pi</math> 200 0 −1 0
Шаблон:Sfrac 210° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac
Шаблон:Sfrac 225° Шаблон:Sfrac 250 −Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac 1
Шаблон:Sfrac 240° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac 270° Шаблон:Sfrac 300 −1 0
Шаблон:Sfrac 300° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sqrt
Шаблон:Sfrac 315° Шаблон:Sfrac 350 −Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −1
Шаблон:Sfrac 330° Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac Шаблон:Sfrac −Шаблон:Sfrac
1 360° 2<math>\pi</math> 400 0 1 0

Дальнейшие углы

Файл:Exact trigonometric table for multiples of 3°.jpg
Exact trigonometric table for multiples of 3 degrees.

Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от <math>0^\circ</math> до <math>45^\circ</math>, элементарно выводятся из значений в углах этого промежутка при помощи формул приведения. Все углы записаны в градусах и радианах, при этом число, обратное множителю, стоящему перед <math>\pi</math> в выражении для данного угла, является единственным числом символа Шлефли правильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.

0° = 0 (rad)

<math>\sin 0=0\,</math>
<math>\cos 0=1\,</math>
<math>\operatorname{tg} 0=0\,</math>
<math>\operatorname{ctg} 0=\infty\,</math>

1,5°=(1/120)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{120}\right) = \sin\left(1.5^\circ\right) = \frac{\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10-2\sqrt5}\right) - \left(\sqrt{2-\sqrt2}\right)\left(\sqrt{30-6\sqrt5}+\sqrt5+1\right)}{16}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{120}\right) = \cos\left(1.5^\circ\right) = \frac{\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right)\left(\sqrt{30-6\sqrt5}+\sqrt5+1\right) + \left(\sqrt{2-\sqrt2}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10-2\sqrt5}\right)}{16}</math>

1,875°=(1/96)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{96}\right) = \sin\left(1.875^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{96}\right) = \cos\left(1.875^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}</math>

2,25°=(1/80)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{80}\right) = \sin\left(2.25^\circ\right) =\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{80}\right) = \cos\left(2.25^\circ\right) =\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}</math>

2,8125°=(1/64)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{64}\right) = \sin\left(2.8125^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{64}\right) = \cos\left(2.8125^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}</math>

3°=(1/60)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{60}\right) = \sin\left(3^\circ\right) = \frac{2\left(1-\sqrt3\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\left(\sqrt{10}-\sqrt2\right)\left(\sqrt3+1\right)}{16}\,</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{60}\right) = \cos\left(3^\circ\right) = \frac{2\left(1+\sqrt3\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\left(\sqrt{10}-\sqrt2\right)\left(\sqrt3-1\right)}{16}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{60}\right) = \operatorname{tg}\left(3^\circ\right) = \frac{\left[\left(2-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)-2\right]\left[2-\sqrt{10-2\sqrt5}\right]}{4}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{60}\right) = \operatorname{ctg}\left(3^\circ\right) = \frac{\left[\left(2+\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)-2\right]\left[2+\sqrt{10-2\sqrt5}\right]}{4}\,</math>

3,75°=(1/48)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{48}\right) = \sin\left(3.75^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{48}\right) = \cos\left(3.75^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}</math>

4,5°=(1/40)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{40}\right) = \sin\left(4.5^\circ\right) =\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{40}\right) = \cos\left(4.5^\circ\right) =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}</math>

5,625°=(1/32)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{32}\right) = \sin\left(5.625^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}</math>
<math>\cos\left(\frac{\pi}{32}\right) = \cos\left(5.625^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}</math>

6°=(1/30)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{30}=\sin 6^\circ=\frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1}{8}\,</math>
<math>\cos\frac{\pi}{30}=\cos 6^\circ=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}}{8}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{30}=\operatorname{tg} 6^\circ=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3-\sqrt{15}}{2}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{30}=\operatorname{ctg} 6^\circ=\frac{\sqrt{27}+\sqrt{15}+\sqrt{50+\sqrt{2420}}}{2}\,</math>

7,5°=(1/24)π (rad)

<math>\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)=\sin\left(7.5^\circ\right)=\frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}

= \frac14\sqrt{8-2\sqrt6-2\sqrt2}</math>

<math>\cos\left(\frac{\pi}{24}\right)=\cos\left(7.5^\circ\right)=\frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}

= \frac14\sqrt{8+2\sqrt6+2\sqrt2} </math>

<math>\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{24}\right)=\operatorname{tg}\left(7.5^\circ\right)=\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2-2\ = \left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)</math>
<math>\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{24}\right)=\operatorname{ctg}\left(7.5^\circ\right)=\sqrt6+\sqrt3+\sqrt2+2\ = \left(\sqrt2+1\right)\left(\sqrt3+\sqrt2\right)</math>

9°=(1/20)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{20}=\sin 9^\circ=\frac12 \sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{20}=\cos 9^\circ=\frac12 \sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{20}=\operatorname{tg} 9^\circ=\sqrt5+1-\sqrt{5+2\sqrt5}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{20}=\operatorname{ctg} 9^\circ=\sqrt5+1+\sqrt{5+2\sqrt5}\,</math>

11,25°=(1/16)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{16}=\sin 11.25^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{16}=\cos 11.25^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{16}=\operatorname{tg} 11.25^\circ=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{16}=\operatorname{ctg} 11.25^\circ=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1</math>

12°=(1/15)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{15}=\sin 12^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt3-\sqrt{15}\right]\,</math>
<math>\cos\frac{\pi}{15}=\cos 12^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{6\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt5-1\right]\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{15}=\operatorname{tg} 12^\circ=\tfrac{1}{2} \left[3\sqrt3-\sqrt{15}-\sqrt{2\left(25-11\sqrt5\right)}\,\right]\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{15}=\operatorname{ctg} 12^\circ=\tfrac{1}{2} \left[\sqrt{15}+\sqrt3+\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\right]\,</math>

15°=(1/12)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{12}=\sin 15^\circ=\frac{1}{4}\left(\sqrt6-\sqrt2\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt3}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{12}=\cos 15^\circ=\frac{1}{4}\left(\sqrt6+\sqrt2\right)= \frac12\sqrt{2+\sqrt3}</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}=\operatorname{tg} 15^\circ=2-\sqrt3\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{12}=\operatorname{ctg} 15^\circ=2+\sqrt3\,</math>

18°=(1/10)π (rad)[1]

<math>\sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)\,</math>
<math>\cos\frac{\pi}{10}=\cos 18^\circ=\tfrac{1}{4}\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{10}=\operatorname{tg} 18^\circ=\tfrac{1}{5}\sqrt{5\left(5-2\sqrt5\right)}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{10}=\operatorname{ctg} 18^\circ=\sqrt{5+2\sqrt 5}\,</math>

21°=(7/60)π (rad)

<math>\sin\frac{7\pi}{60}=\sin 21^\circ=\frac{1}{16}\left(2\left(\sqrt3+1\right)\sqrt{5-\sqrt5}-\left(\sqrt6-\sqrt2\right)\left(1+\sqrt5\right)\right)\,</math>
<math>\cos\frac{7\pi}{60}=\cos 21^\circ=\frac{1}{16}\left(2\left(\sqrt3-1\right)\sqrt{5-\sqrt5}+\left(\sqrt6+\sqrt2\right)\left(1+\sqrt5\right)\right)\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{7\pi}{60}=\operatorname{tg} 21^\circ=\frac{1}{4}\left(2-\left(2+\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)\right)\left(2-\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\right)\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{60}=\operatorname{ctg} 21^\circ=\frac{1}{4}\left(2-\left(2-\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)\right)\left(2+\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\right)\,</math>

22,5°=(1/8)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{8}=\sin 22.5^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}},</math>
<math>\cos\frac{\pi}{8}=\cos 22.5^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}=\operatorname{tg} 22.5^\circ=\sqrt{2}-1\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{8}=\operatorname{ctg} 22.5^\circ=\sqrt{2}+1=\delta_S\,</math>, серебряное сечение

24°=(2/15)π (rad)

<math>\sin\frac{2\pi}{15}=\sin 24^\circ=\tfrac{1}{8}\left[\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\right]\,</math>
<math>\cos\frac{2\pi}{15}=\cos 24^\circ=\tfrac{1}{8}\left(\sqrt{6\left(5-\sqrt5\right)}+\sqrt5+1\right)\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{2\pi}{15}=\operatorname{tg} 24^\circ=\tfrac{1}{2}\left[\sqrt{50+22\sqrt5}-3\sqrt3-\sqrt{15}\right]\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{15}=\operatorname{ctg} 24^\circ=\tfrac{1}{2}\left[\sqrt{15}-\sqrt3+\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\right]\,</math>

27°=(3/20)π (rad)

<math>\sin\frac{3\pi}{20}=\sin 27^\circ=\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt2\;\left(\sqrt5-1\right)\right]\,</math>
<math>\cos\frac{3\pi}{20}=\cos 27^\circ=\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\;\left(\sqrt5-1\right)\right]\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{3\pi}{20}=\operatorname{tg} 27^\circ=\sqrt5-1-\sqrt{5-2\sqrt5}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{20}=\operatorname{ctg} 27^\circ=\sqrt5-1+\sqrt{5-2\sqrt5}\,</math>

30°=(1/6)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{6}=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\,</math>
<math>\cos\frac{\pi}{6}=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\operatorname{tg} 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\operatorname{ctg} 30^\circ=\sqrt3\,</math>

33°=(11/60)π (rad)

<math>\sin\frac{11\pi}{60}=\sin 33^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2\left(\sqrt3-1\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\left(1+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-1\right)\right]\,</math>
<math>\cos\frac{11\pi}{60}=\cos 33^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2\left(\sqrt3+1\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\left(1-\sqrt3\right)\left(\sqrt5-1\right)\right]\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{11\pi}{60}=\operatorname{tg} 33^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-\left(2-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)\right]\left[2+\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\,\right]\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{11\pi}{60}=\operatorname{ctg} 33^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-\left(2+\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)\right]\left[2-\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\,\right]\,</math>

36°=(1/5)π (rad)

[1]
<math>\sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=\frac14\sqrt{10-2\sqrt{5}}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{5}=\cos 36^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4}=\frac{\varphi}{2},</math> где <math>\varphi</math> — золотое сечение;
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}=\operatorname{tg} 36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{5}=\operatorname{ctg} 36^\circ=\frac15\sqrt{25+10\sqrt{5}}</math>

39°=(13/60)π (rad)

<math>\sin\frac{13\pi}{60}=\sin 39^\circ=\tfrac1{16}\left[2\left(1-\sqrt3\right)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt5+1\right)\right]\,</math>
<math>\cos\frac{13\pi}{60}=\cos 39^\circ=\tfrac1{16}\left[2\left(1+\sqrt3\right)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt5+1\right)\right]\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{13\pi}{60}=\operatorname{tg} 39^\circ=\tfrac14\left[\left(2-\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)-2\right]\left[2-\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\right]\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{13\pi}{60}=\operatorname{ctg} 39^\circ=\tfrac14\left[\left(2+\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)-2\right]\left[2+\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\right]\,</math>

42°=(7/30)π (rad)

<math>\sin\frac{7\pi}{30}=\sin 42^\circ=\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt5+1}{8}\,</math>
<math>\cos\frac{7\pi}{30}=\cos 42^\circ=\frac{\sqrt{15}-\sqrt3+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{7\pi}{30}=\operatorname{tg} 42^\circ=\frac{\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{30}=\operatorname{ctg} 42^\circ=\frac{\sqrt{50-22\sqrt{5}}+3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}\,</math>

45°=(1/4)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{4}=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\,</math>
<math>\cos\frac{\pi}{4}=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=\operatorname{tg} 45^\circ=1\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=\operatorname{ctg} 45^\circ=1\,</math>

54°=(3/10)π (rad)

<math>\sin\frac{3\pi}{10}=\sin 54^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4}\,\!</math>
<math>\cos\frac{3\pi}{10}=\cos 54^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{3\pi}{10}=\operatorname{tg} 54^\circ=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{10}=\operatorname{ctg} 54^\circ=\sqrt{5-\sqrt{20}}\,</math>

60°=(1/3)π (rad)

<math>\sin\frac{\pi}{3}=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\,</math>
<math>\cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\operatorname{tg} 60^\circ=\sqrt3\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}=\operatorname{ctg} 60^\circ=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}\,</math>

67,5°=(3/8)π (rad)

<math>\sin\frac{3\pi}{8}=\sin 67.5^\circ=\tfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\,</math>
<math>\cos\frac{3\pi}{8}=\cos 67.5^\circ=\tfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}=\operatorname{tg} 67.5^\circ=\sqrt{2}+1\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{8}=\operatorname{ctg} 67.5^\circ=\sqrt{2}-1\,</math>

72°=(2/5)π (rad)

<math>\sin\frac{2\pi}{5}=\sin 72^\circ=\tfrac{1}{4}\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,</math>
<math>\cos\frac{2\pi}{5}=\cos 72^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)=\frac{\varphi}{2},</math> где <math>\varphi</math> — золотое сечение;
<math>\operatorname{tg}\frac{2\pi}{5}=\operatorname{tg} 72^\circ=\sqrt{5+2\sqrt 5}\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{5}=\operatorname{ctg} 72^\circ=\tfrac{1}{5}\sqrt{5\left(5-2\sqrt5\right)}\,</math>

75°=(5/12)π (rad)

<math>\sin\frac{5\pi}{12}=\sin 75^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt6+\sqrt2\right)\,</math>
<math>\cos\frac{5\pi}{12}=\cos 75^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt6-\sqrt2\right)\,</math>
<math>\operatorname{tg}\frac{5\pi}{12}=\operatorname{tg} 75^\circ=2+\sqrt3\,</math>
<math>\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{12}=\operatorname{ctg} 75^\circ=2-\sqrt3\,</math>

90°=(1/2)π (rad)

<math>\sin \frac{\pi}{2}=\sin 90^\circ=1\,</math>
<math>\cos \frac{\pi}{2}=\cos 90^\circ=0\,</math>
<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{2}=\operatorname{tg} 90^\circ=\infty\,</math>
<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2}=\operatorname{ctg} 90^\circ=0\,</math>

Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n

Приведены только формулы, не использующие корней степени больше <math>5</math>. Так как (по теореме Муавра) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение, равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел, появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.

В некоторых случаях ниже используются два числа <math>\omega_3=\tfrac{-1+i\sqrt3}2,\omega_5=\tfrac14(-1+\sqrt5+i\sqrt{10+2\sqrt5})</math>, обладающие таким свойством, что <math>\omega_3^3=\omega_5^5=1</math>. <math> \begin{array}{r|l|l|l} n & \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) & \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) & \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 2 & 0 & -1 & 0 \\ \hline 3 & \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} & -\sqrt{3} \\ \hline 4 & 1 & 0 & \pm\infty \\ \hline 5 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) & \sqrt{5+2\sqrt{5}} \\ \hline 6 & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} & \sqrt{3} \\ \hline 7 & \frac16\sqrt{3\left(7-\overline{\omega_3}\sqrt[3]\frac{7+21i\sqrt3}2-\omega_3\sqrt[3]\frac{7-21i\sqrt3}2\right)} & \frac{1}{6}\left(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21i\sqrt{3}}{2}}\right) & \\ \hline 8 & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 1 \\ \hline 9 & \frac{i}{2}\left(\sqrt[3]\overline{\omega_3}-\sqrt[3]{\omega_3}\right) & \frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\omega_3}+\sqrt[3]\overline{\omega_3}\right) & \\ \hline 10 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}+1\right) & \sqrt{5-2\sqrt{5}} \\ \hline 11 & & & \\ \hline 12 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \hline 13 & \frac1{12}\sqrt{6\left(13-\sqrt{13}-\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39})} - \sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}+3i\sqrt{39})}\right)} & \frac1{12}\left(-1+\sqrt{13}+\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39})} + \sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}+3i\sqrt{39})}\right) & \\ \hline 14 & \frac16\sqrt{3\left(7-\sqrt[3]\frac{7+21i\sqrt3}2-\sqrt[3]\frac{7-21i\sqrt3}2\right)} & \frac{1}{6}\left(1-\omega_3\sqrt[3]\frac{7+21i\sqrt3}2-\overline{\omega_3}\sqrt[3]\frac{7-21i\sqrt3}2\right) & \\ \hline 15 & \frac{1}{8}\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{8}\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{2}\left(-3\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{50+22\sqrt{5}}\right) \\ \hline 16 & \frac{1}{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right) & \sqrt{2}-1 \\ \hline 17 & & \frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right) & \\ \hline 18 & \frac {i}{2} \left (\sqrt[3]{-\omega_3}-\sqrt[3]{-\overline{\omega_3}}\right) & \frac {1}{2} \left (\sqrt[3]{-\omega_3}+\sqrt[3]{-\overline{\omega_3}}\right) & \\ \hline 19 & & & \\ \hline 20 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{5}\left(\sqrt{25-10\sqrt{5}}\right) \\ \hline 21 & & & \\ \hline 22 & & & \\ \hline 23 & & & \\ \hline 24 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right) & 2-\sqrt{3} \\ \hline 25 & \frac i2(\sqrt[5]{\overline{\omega_5}}-\sqrt[5]{\omega_5}) & \frac12(\sqrt[5]{\omega_5}+\sqrt[5]{\overline{\omega_5}}) & \end{array} </math>

Доказательство

Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для <math>x=\cos\tfrac{2\pi o}n+i\sin\tfrac{2\pi o}n</math> (n и o — целые числа) — это решить уравнение xn = 1, то есть найти комплексные корни из 1. При этом сами косинус и синус равны <math>\tfrac{x+1/x}2</math> и <math>\tfrac{x-1/x}{2i}</math> соответственно. Данный метод обосновывается теоремой Муавра: Шаблон:Equation box 1 В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы): Шаблон:Equation box 1 Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными, или примитивными, корнями n-й степени из 1. А многочлен, в качестве своих корней содержащий только примитивные радикалы из 1, причём с единичной кратностью, называется круговым. Для корней n-й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ(n), где φ — функция Эйлера, и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.

При n ≥ 2 круговой полином является симметричным, то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ(n)/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом sφ(n)(x) = 0 чётной степени φ(n), симметричный полином sφ(n)(x) надо разделить на xφ(n)/2, а затем сгруппировать по степеням числа x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.

Пример 1: n = 3

Способ 1 — решение уравнения 2-й степени по общему методу

Полином <math>x^3-1</math> раскладывается на круговые множители <math>x-1</math> и <math>x^2+x+1,</math> у первого из каких корень равен 1, а второй является полиномом 2-й степени. И в общем случае, чтобы решить квадратное уравнение, надо поделить многочлен на старший коэффициент (здесь он равен 1), а затем выделить точный квадрат так, чтобы избавиться от слагаемого-одночлена той степени, которая меньше степени полинома на 1, — то есть привести многочленное уравнение к каноническому виду:

<math>x^2+x=-1,</math>

<math>(x+\tfrac12)^2=-\tfrac34,</math>

<math>(x+\tfrac12)^2+\tfrac34=0</math> (канонический вид).

В итоге в совокупности с уравнением <math>x-1=0</math> получается, что Шаблон:Equation box 1

Способ 2 — сведение уравнения к уравнению 1-й степени

Вместо того, чтобы решать уравнение <math>x^2+x+1=0</math> как квадратное, симметричный многочлен <math>x^2+x+1</math> можно поделить на x, сгруппировать относительно x + 1/x, учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:

<math>(x+\tfrac1x)+1=0,</math>

<math>x+\tfrac1x=-1,</math>Шаблон:Equation box 1

Пример 2: n = 5

Круговой полином равен <math>x^4+x^3+x^2+x+1,</math> и, чтобы найти его корни, его нужно поделить на x2, сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:

<math>x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,</math>

<math>(x+\tfrac1x)^2+(x+\tfrac1x)-1=0,</math>

<math>x+\tfrac1x=\tfrac{-1\pm\sqrt5}2</math> (искомый косинус, умноженный на 2), Шаблон:Equation box 1

Пример 3: n = 7

Условные обозначения. Обозначим <math>\cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n</math> как <math>\omega_n.</math>

Шаг 1 — приведение уравнения к канонической форме

Проведя с круговым многочленом <math>x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math> преобразования, аналогичные каким представлены для n = 5, получаем уравнение 3-й степени <math>(x+\tfrac1x)^3+(x+\tfrac1x)^2-2(x+\tfrac1x)-1=0.</math> Далее, как и в случае с квадратным уравнением, это уравнение нужно привести к каноническому виду, то есть поделить обе части уравнения на старший коэффициент (единицу) и затем выделить точный куб, избавившись от слагаемого той степени, которая меньше степени многочлена на 1:

<math>(x+\tfrac1x)^3+(x+\tfrac1x)^2=2(x+\tfrac1x)+1,</math>

<math>[(x+\tfrac1x)+\tfrac13]^3=\tfrac73[(x+\tfrac1x)+\tfrac13]+\tfrac7{27},</math>

<math>(x+\tfrac13+\tfrac1x)^3-\tfrac73(x+\tfrac13+\tfrac1x)-\tfrac7{27} =0</math> (каноническая форма).

Шаг 2 — метод дель Ферро

Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано, но впервые был открыт Сципионом дель Ферро. Он заключается в следующем: заменим искомую переменную (<math>x+\tfrac13+x^{-1}</math>) на сумму <math>v+w</math>:

<math>(v^3+3v^2w+3vw^2+w^3)-\tfrac73(v+w)-\tfrac7{27} =0,</math>

а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе <math>3v^2w+3vw^2-\tfrac73(v+w)=(3vw-\tfrac73)(v+w)</math> множитель <math>3vw-\tfrac73</math> надо приравнять нулю. В таком случае <math>w=\tfrac7{9v}</math> и <math>\tfrac12(x+x^{-1})=\tfrac12(\tfrac{-1}3+v+w)=\tfrac12(\tfrac{-1}3+v+\tfrac7{9v})</math> (сам косинус), а само кубическое уравнение сокращается до квадратного:

<math>v^3-\tfrac7{3^3}+\tfrac{7^3}{3^6}v^{-3}=0,</math>

<math>v^3=\tfrac7{2\cdot3^3}\pm i\sqrt{\tfrac{7^3}{3^6}-\tfrac{7^2}{2^23^6}}=\tfrac{7\pm7i\sqrt{2^27-1}}{2\cdot3^3}=\tfrac{7\pm21i\sqrt3}{2\cdot3^3},</math>

а с учётом главных значений кубических корней получается:

<math>v=\tfrac{\omega_3^m}3\sqrt[3]\tfrac{7\pm21i\sqrt3}2,\tfrac7{9v}=\tfrac{\omega_3^{-m}}3\sqrt[3]\tfrac{7\mp21i\sqrt3}2,</math> где <math>m\in\mathbb{Z},</math> Шаблон:Equation box 1

где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.

Шаг 3 — синус[2]

Синус лучше всего искать не по основному тригонометрическому тождеству, а по формуле половинного угла <math>\sin\tfrac{2\pi o}7=\pm\sqrt{\tfrac12-\tfrac12\cos\tfrac{4\pi o}7},</math> иначе появятся квадраты чисел <math>\sqrt[3]{\tfrac12(7\pm21i\sqrt3)},</math> и упрощение станет неочевидное. В итоге все примитивные корни 7-й степени из 1 равны

Шаблон:Equation box 1

где <math>2w^3=7+21i\sqrt3.</math>

Пример 4: n = 32 = 9

Условное обозначение. Обозначим <math>\cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n</math> как <math>\omega_n.</math>

Число 9 раскладывается на простые множители как 32, так что многочлен <math> x^9-1 </math> можно разложить на круговые множители как <math> (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1). </math> Корни последнего из них представляют собой корни 3-й степени из чисел (корней многочлена <math> x^2+x+1 </math>), которые, в свою очередь, являются первообразными корнями 3-й степени из 1, то есть первообразные корни 9-й степени из 1 равны Шаблон:Equation box 1 Тогда (с учётом главных значений кубических корней) «первообразные» косинусы и синусы выражаются как Шаблон:Equation box 1Шаблон:Equation box 1

Пример 5: n = 2 · 7 = 14

Условное обозначение: <math>\omega_n:=\cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n.</math>

У полинома <math> x^{14}-1=(x^7-1)(x^7+1) </math> круговые множители таковы:

  • <math>

x-1 </math> (круговой полином для 1-й степени);

  • <math>

x+1 </math> (круговой полином для 2-й степени);

  • <math>

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 </math> (для 7-й степени);

  • <math>

x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 </math> (для 14-й степени).

Корни полинома <math> x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 </math> точно противоположны корням полинома <math>x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1</math> (это можно доказать с помощью замены переменной на противоположную ей или по теореме Виета) и, следовательно, выглядят так: Шаблон:Equation box 1 где <math>2w^3=7+21i\sqrt3.</math>

Пример 6: n = 3 · 5 = 15

Круговой многочлен <math>x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1</math> не очень прост, и вместо того, чтобы искать его корни, лучше разложить угол <math>\tfrac{2\pi o}{3\cdot5}</math> (o — целое число) как сумму <math>\tfrac{2\pi}3o_1+\tfrac{2\pi}5o_2,</math> где o1 и o2 — некоторые целые числа.

Примечание. В отличие от 15, в факторизации числа 9 участвует один и тот же множитель двойной кратности — и в отличие от <math>\tfrac{2\pi o}{3\cdot5}</math> угол <math>\tfrac{2\pi o}{3^2}</math> не всегда можно разложить в виде <math>\tfrac{2\pi o_1}{3}+\tfrac{2\pi o_2}{3}</math> (o, o1 и o2 — целые числа).

Разложив угол на сумму углов, можно вычислять косинус и синус:

<math>\cos(\tfrac{2\pi o_1}3+\tfrac{2\pi o_2}5)+i\sin(\tfrac{2\pi o_1}3+\tfrac{2\pi o_2}5)= </math>

<math>=(\cos\tfrac{2\pi o_1}3+i\sin\tfrac{2\pi o_1}3)(\cos\tfrac{2\pi o_2}5+i\sin\tfrac{2\pi o_2}5)=</math>

<math>=\left(\tfrac{-1+i\sqrt3}2\right)^{o_1}\left[\tfrac14(-1+\sqrt5+i\sqrt{10+2\sqrt5})\right]^{o_2}.</math>

Например, если o = 1, то в качестве o1 и o2 можно выбрать −1 и 2 соответственно. Тогда

<math>\cos\tfrac{2\pi}{15}+i\sin\tfrac{2\pi}{15} =\tfrac18(-1-i\sqrt3)(-1-\sqrt5+i\sqrt{10-2\sqrt5})= </math>

<math>=\tfrac18[1+\sqrt5+\sqrt{30-6\sqrt5}+i(\sqrt3+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt5})]. </math>

Пример 7: n = 17

Шаг 1

Поскольку данное число Ферма является простым, то, как и в случае n = 3, n = 5 и n = 7, в первую очередь нужно круговой полином <math>x^{16}+\cdots+x+1</math> поделить на x8 и заменить на некоторую переменную b = x + 1/x ― получим <math>b^8+b^7+\cdots-4b+1.</math>

Условное обозначение. Обозначим корни многочлена <math>b^8+b^7+\cdots-4b+1</math> как <math>b_{o/17}=2\cos\tfrac{2\pi o}{17}.</math>

Шаг 2[3]

Корни полинома <math>b^8+b^7+\cdots-4b+1</math> лучше всего найти не через его коэффициенты, а пользуясь тем, что его корни ― удвоенные косинусы. Для этого нужно некоторым образом распределить все его корни по двум суммам S1 и S2, найти S1 + S2 и S1S2 и по теореме Виета вывести для S1 и S2 уравнение, решив которое и получим S1 и S2.

Если поточнее, корни полинома <math>b^8+b^7+\cdots-4b+1</math> нужно распределять по степеням двойки:

  • <math>S_1=b_{2^0/17}+b_{2^1/17}+b_{2^2/17}+b_{2^3/17}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};</math>
  • <math>S_2=b_{3\cdot2^0/17}+b_{3\cdot2^1/17}+b_{3\cdot2^2/17}+b_{3\cdot2^3/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.</math>

Сумма S1 + S2 равна сумме всех корней <math>b^8+b^7+\cdots-4b+1,</math> а значит, по теореме Виета равна −1, а произведение находится по формуле косинуса произведения <math>(2\cos\alpha)(2\cos\beta)=[2\cos(\alpha+\beta)]+[2\cos(\pm\alpha\mp\beta)]\colon</math>

<math>(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17})=</math>

<math>=\underbrace{(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots+(b_{8/17}b_{7/17})}_{\text{16 слагаемых}} =\underbrace{(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots+(b_{15/17}+b_{1/17})}_{\text{32 слагаемых, включая внутри скобок}}</math> (по формуле косинуса произведения)

<math>=2\underbrace{(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots+b_{15/17}+b_{16/17})}_{\text{16 слагаемых}}=4(S_1+S_2)=-4.</math>

Тогда получается квадратное уравнение <math>S^2+S-4=0</math> с корнями <math>\tfrac{-1\pm\sqrt{17}}2,</math> причём они распределяются так:

  • <math>S_1=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}=\tfrac{-1+\sqrt{17}}2;</math>
  • <math>S_2=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}=\tfrac{-1-\sqrt{17}}2.</math>

Шаг 3

Слагаемые, заключённые в S1 и S2, снова надо распределить пополам по суммам, причём по степеням четвёрки — и образуются четыре числа:

  • <math>T_{1.1}=b_{2^0/17}+b_{2^2/17}=b_{1/17}+b_{4/17};</math>
  • <math>T_{1.2}=b_{2^1/17}+b_{2^3/17}=b_{2/17}+b_{8/17};</math>
  • <math>T_{2.1}=b_{3\cdot2^0/17}+b_{3\cdot2^2/17}=b_{3/17}+b_{5/17};</math>
  • <math>T_{2.2}=b_{3\cdot2^1/17}+b_{3\cdot2^3/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.</math>

Сумма <math>T_{m.1}+T_{m.2}</math> (где m пробегает множество {1, 2}) равна <math>S_m=\tfrac{-1\pm\sqrt{17}}2,</math> а произведение <math>T_{m.1}T_{m.2}</math> (по той же формуле <math>\cos\alpha\cos\beta=\tfrac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\pm\alpha\mp\beta)]</math>) равно −1 (при m = 1 и при m = 2), а значит, здесь по теореме Виета мы получаем квадратное уравнение <math>T_m^2-S_mT_m-1=0</math> для T:

  • <math>T_{1.1}=\tfrac14(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}});</math>
  • <math>T_{1.2}=\tfrac14(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}});</math>
  • <math>T_{2.1}=\tfrac14(-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}});</math>
  • <math>T_{2.2}=\tfrac14(-1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}).</math>

Шаг 4

Во 2-м и 3-м этапах мы каждый раз «дробили» суммы пополам. Здесь мы сделаем то же самое и таким образом уже дойдём до самих корней (чисел bo/17). Суммы равны:

  • <math>b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};</math>
  • <math>b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};</math>
  • <math>b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};</math>
  • <math>b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},</math>

а соответствующие произведения:

  • <math>b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};</math>
  • <math>b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};</math>
  • <math>b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};</math>
  • <math>b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.</math>

Составив все требуемые квадратные уравнения, получаем искомые косинусы:

  • <math>b_{1/17}/2</math> или <math>b_{4/17}/2</math> — <math>\tfrac1{16}(16-N+\sqrt{2N}\pm2\sqrt{2M-N-\sqrt{2N}-2\sqrt{2M}});</math>
  • <math>b_{2/17}/2</math> или <math>b_{8/17}/2</math> — <math>\tfrac1{16}(16-N-\sqrt{2N}\pm2\sqrt{2M-N+\sqrt{2N}+2\sqrt{2M}});</math>
  • <math>b_{3/17}/2,b_{5/17}/2</math> — <math>\tfrac1{16}(16-M+\sqrt{2M}\pm2\sqrt{2N-M-\sqrt{2M}+2\sqrt{2N}});</math>
  • <math>b_{6/17}/2,b_{7/17}/2</math> — <math>\tfrac1{16}(16-M-\sqrt{2M}\pm2\sqrt{2N-M+\sqrt{2M}-2\sqrt{2N}});</math>

где <math>M = 17+\sqrt{17},N = 17-\sqrt{17}</math>.

Пример 8: n = 13

Нужно круговой полином <math>x^{12}+\cdots+x+1</math> поделить на x6 и заменить x + 1/x на некоторую переменную b ― получается полином <math>b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1.</math> Между 7-м примером (n = 17) и данным (n = 13) есть некоторые сходства: во-первых, 13 и 17 оба простые числа, а во-вторых, степени многочленов <math>b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1</math> (который соответствует n = 13) и <math>b^8+b^7+\cdots-4b+1</math> (n = 17) являются составными числами — поэтому возникает такое подозрение, что корни полинома <math>b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1</math> нужно найти по тому же принципу, какой был в 7-м примере: причём здесь нужно сначала вывести и решить квадратное уравнение, а лишь потом — кубическое.

Условное обозначение. Обозначим корни полинома <math>b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1</math> как <math>b_{o/13}=2\cos\tfrac{2\pi o}{13}.</math>

Шаг 1

Распределим все шесть корней указанного полинома по двум суммам S1, S2 и по степеням тройки:

  • <math>S_1=x_{3^0/13}+x_{3^1/13}+x_{3^2/13}=x_{1/13}+x_{3/13}+x_{4/13};</math>
  • <math>S_2=x_{2\cdot3^0/13}+x_{2\cdot3^1/13}+x_{2\cdot3^2/13}=x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}</math>

и вычислим следующие величины с помощью тождества <math>(2\cos\alpha)(2\cos\beta)=[2\cos(\alpha+\beta)]+[2\cos(\pm\alpha\mp\beta)]\colon</math>

  • <math>S_1+S_2=-1;</math>
  • <math>\begin{align} S_1S_2 & = (b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}) \\

& = b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_{5/13} \\ & + b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13} \\ & + b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13} \\ & = (b_{3/13}+b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13}) \\ & + (b_{5/13}+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13}) \\ & + (b_{6/13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13}) \\ & = 3(b_{1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_1+S_2)=-3, \\ \end{align}</math>

получив уравнение <math>S^2+S-3=0</math>, решив которое получаем: <math>S_1=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=\tfrac{-1+\sqrt{13}}2,</math> <math>S_2=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}=\tfrac{-1-\sqrt{13}}2.</math>

Шаг 2

S1 и S2 известны — теперь с помощью них нужно вывести кубические уравнения относительно b. Для демонстрации выберем, например, корни, входящие в сумму S1. Тогда нужно найти следующие величины:

  • <math>b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_1=\tfrac{-1+\sqrt{13}}2;</math>
  • <math>b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}

= b_{4/13}+b_{2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}= S_1+S_2=-1;</math>

  • <math>b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13}^2+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_2=\tfrac{3-\sqrt{13}}2,</math>

чтобы по теореме Виета получить уравнение. Если в совокупности с корнями, входящими в S1, включить корни, входящие в S2, — в результате получится уравнение <math>b^3-\tfrac{-1\pm\sqrt{13}}2b^2-b+\tfrac{-3\pm\sqrt{13}}2=0</math>.

Шаг 3 — приведение к канонической форме

<math>(b-\tfrac{-1\pm\sqrt{13}}6)^3+\tfrac{-13\pm\sqrt{13}}6(b-\tfrac{1\pm\sqrt{13}}6)+\tfrac{-26\pm5\sqrt{13}}{27}=0</math> (каноническая форма) <math>|\cdot6^3,</math>

<math>[6b-(-1\pm\sqrt{13})]^3+6(-13\pm\sqrt{13})[6b-(-1\pm\sqrt{13})]+8(-26\pm5\sqrt{13})=0</math> (чтобы в ответе знаменатель сразу был вынесен из-под корня).

Шаг 4 — решение канонического уравнения

<math>\begin{align} 6b-(-1\pm\sqrt{13}) & = \omega_3^m\sqrt[3]{-\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2 - \sqrt{\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2^2+\tfrac{6(-13\pm\sqrt{13})}3^3}} \\ & + \omega_3^{-m}\sqrt[3]{-\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2 + \sqrt{\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2^2+\tfrac{6(-13\pm\sqrt{13})}3^3}} \\ & = \omega_3^m\sqrt[3]{4(26\mp5\sqrt{13} - 3i\sqrt{39})} + \omega_3^{-m}\sqrt[3]{4(26\mp5\sqrt{13} + 3i\sqrt{39})}, \\ \end{align}</math>

где m пробегает {0, 1, 2}, а <math>\omega_n=\cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n.</math>

Прочее

Использование для вычисления других констант

Например, объём правильного додекаэдра с длиной ребра <math>a</math> может быть задан формулой:

<math>V=\frac{5a^3\cos36^\circ}{\tan^2{36^\circ}}.</math>

Если использовать выражения

<math>\cos 36^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4},\,</math>
<math>\tan 36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt5},\,</math>

формулу можно упростить до

<math>V=\frac{a^3\left(15+7\sqrt5\right)}{4}.\,</math>

Вывод через треугольники

Файл:Polygontriangle.gif
Правильный n-угольник и его фундаментальный прямоугольный треугольник. Углы: a = Шаблон:Sfrac, b =90(1 − Шаблон:Sfrac)°

Вывод значений синуса, косинуса и тангенса в радикальную форму базируется на возможности построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников.

Здесь прямоугольные треугольники, сделанные сечениями по осям симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. В каждом из прямоугольных треугольников вершинами являются:

  • Центр многоугольника
  • Вершина многоугольника
  • Середина стороны, содержащей эту вершину

Правильный n-угольник можно разделить на 2n треугольников с углами Шаблон:Sfrac, 90 − Шаблон:Sfrac, 90 градусов для n, большего или равного 3. Возможность построения при помощи циркуля и линейки треугольника, квадрата, пяти- и пятнадцатиугольника — в базе, биссектрисы углов также позволяют быть выведенными многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника.

Есть и ещё правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, …, 65535, 65537, 69481, 73697, …, 4294967295.)
  • Нельзя построить при помощи циркуля и линейки (с полуградусными или целыми углами) — Для получаемых соотношений сторон треугольников нет конечных радикальных форм, включающих действительные числа, а значит, многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника, не могут быть выведены.

Подсчитанные значения синуса и косинуса

Тривиальные величины

Синус и косинус 0, 30, 45, 60 и 90 градусов могут быть вычислены из соответственных прямоугольных треугольников по теореме Пифагора.

При использовании радианов, синус и косинус <math>\pi</math> / 2n могут быть выражены в радикальной форме при помощи рекурсивного применения следующих формул:

<math>2\cos\theta = \sqrt{2 + 2\cos2\theta} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos4\theta}} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos8\theta}}} </math>; т.д.
<math>2\sin\theta = \sqrt{2 - 2\cos2\theta} = \sqrt{2 - \sqrt{2 + 2\cos4\theta}} = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos8\theta}}} </math>; т.д.

Например:

<math>\cos\frac{\pi}{2^1} = \frac{0}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{2^2} = \frac{\sqrt{2+0}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{2^2} = \frac{\sqrt{2-0}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{2^6} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{2^6} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}}{2}</math>

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

<math>\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{-1}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{3 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2-1}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{3 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2+1}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{3 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2+1}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{3 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2-1}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{3 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{3 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{3 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{3 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{3 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{3 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{3 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{3 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}{2}</math>

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

<math>\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{5 \times 2^0} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}</math> (Поэтому <math>2 + 2\cos\frac{\pi}{5} = 2 + \sqrt{1.25} + 0.5</math>)
<math>\cos\frac{\pi}{5 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{5 \times 2^1} = \frac{\sqrt{1.5 - \sqrt{1.25}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{5 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{5 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{5 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{5 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{5 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{5 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{5 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{5 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}}{2}</math>

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

<math>\cos\frac{\pi}{15 \times 2^0} = \frac{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} - 0.25}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{15 \times 2^1} = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{15 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2.25 - \sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} - \sqrt{0.3125}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{15 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{15 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{15 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{15 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{15 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{15 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}{2}</math>
<math>\cos\frac{\pi}{15 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{15 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}}{2}</math>

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac

Если <math>M = 2(17+\sqrt{17})</math> и <math>N = 2(17-\sqrt{17})</math>, то

<math>\cos\frac{\pi}{17} = \frac{\sqrt{M-4+2(\sqrt{N}+\sqrt{2(2M-N+\sqrt{17N}-\sqrt{N}-8\sqrt{M})})}}{8}.</math>

Затем, используя индукцию, получаем, что

<math>\cos\frac{\pi}{17 \times 2^0} = \frac{\sqrt{30+2\sqrt{17}+\sqrt{136-8\sqrt{17}} + \sqrt{272+48\sqrt{17}+8\sqrt{34-2\sqrt{17}} \times (\sqrt{17}-1)-64\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8};</math>
<math>\cos\frac{\pi}{17 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{17 \times 2^n}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{17 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{17 \times 2^n}}}{2}.</math>

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac; Шаблон:Sfrac

Индукция, применённая выше, может быть применена точно так же к любым простым числам Ферма (F3=223+1=28+1=257; F4=224+1=216+1=65537), кратные <math>\pi</math> чьи значения синуса и косинуса в радикальной форме существуют, но чересчур длинны, чтобы их здесь привести.

<math>\cos\frac{\pi}{257 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{257 \times 2^n}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{257 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{257 \times 2^n}}}{2};</math>
<math>\cos\frac{\pi}{65537 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{65537 \times 2^n}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{65537 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{65537 \times 2^n}}}{2}.</math>

Радикальная форма, синус и косинус Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac; Шаблон:Sfrac

D = 232 — 1 = 4294967295 — самый большой известный на данный момент нечётный целый знаменатель, для которого радикальные формы sin(<math>\pi</math>/D) и cos (<math>\pi</math>/D) известны. Используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило <math>\cos (a-b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b</math> по индукции, получаем -

<math>\cos\frac{\pi}{255 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\pi}{15}-\frac{\pi}{17})}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{255 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\pi}{15}-\frac{\pi}{17})}}{2};</math>
<math>\cos\frac{\pi}{255 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{255 \times 2^n}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{255 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{255 \times 2^n}}}{2};</math>

Следовательно, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило <math>\cos (a-b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b</math> по индукции, получаем -

<math>\cos\frac{\pi}{65535 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\pi}{255}-\frac{\pi}{257})}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{65535 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\pi}{255}-\frac{\pi}{257})}}{2};</math>
<math>\cos\frac{\pi}{65535 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{65535 \times 2^n}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{65535 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{65535 \times 2^n}}}{2}.</math>

И наконец, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило <math>\cos (a-b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b</math> по индукции, получаем -

<math>\cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\pi}{65535}-\frac{\pi}{65537})}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{4294967295 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\pi}{65535}-\frac{\pi}{65537})}}{2};</math>
<math>\cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^n}}}{2}</math>; <math>\sin\frac{\pi}{4294967295 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^n}}}{2}.</math>

Радикальная форма раскрытия, приведённого выше, очень велика, следовательно, выражена проще (как выше).

n × Шаблон:Sfrac

Файл:Ptolemy Pentagon.svg
Хорда(36°) = Шаблон:Sfrac = Шаблон:Sfrac, то есть, числу, обратному золотому сечению, из неравенства Птолемея

Геометрический метод

Применяя неравенство Птолемея ко вписанному четырёхугольнику ABCD, определённому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, находим, что:

<math>\operatorname{crd} 36^\circ = \operatorname{crd} (\angle\mathrm{ADB}) = \frac{a}{b} =\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>

что равно обратному числу Шаблон:Sfrac по отношению к золотому сечению. crd — функция длины хорды,

<math>\operatorname{crd}\ {\theta}=2\sin\frac{\theta}{2}.\,</math>

А значит,

<math>\sin 18^\circ=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.</math>

(Также можно обойтись и без неравенства Птолемея. Обозначим за X пересечение AC и BD, и заметим, что треугольник AXB равнобедренный, а значит, AX = AB = a. Треугольники AXD и CXB подобны, так как AD параллельно BC. Значит, XC = a·(Шаблон:Sfrac). Но AX + XC = AC, а значит, a + Шаблон:Sfrac = b. Решив полученное, имеем, что Шаблон:Sfrac = Шаблон:Sfrac, как и получено ранее).

Точно так же

<math>\operatorname{crd}\ 108^\circ=\operatorname{crd}(\angle\mathrm{ABC})=\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},</math>

а значит,

<math>\sin 54^\circ=\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.</math>

Алгебраический метод

Если θ равно 18° или −54°, то 2θ и 3θ сводятся к 5θ = 90° или −270°, значит, <math>\sin 2\theta = \cos 3\theta</math>.

<math>(2\sin\theta)\cos\theta = \sin2\theta = \cos3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta = (4\cos^2\theta-3)\cos\theta = (1-4\sin^2\theta)\cos\theta</math>
Далее, <math>4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0</math>, что значит <math>\sin\theta = \sin(18^\circ , -54^\circ) = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}.</math>

Следовательно,

<math>\sin(18^\circ) = \cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}</math> и <math>\sin(54^\circ) = \cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}</math> и
<math>\sin(36^\circ) = \cos(54^\circ) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math> и <math>\sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}.</math>

Также формулы кратного угла для функций от 5x, где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций от x, так как мы знаем значения функций от 5x. Далее следуют формулы кратного угла:

<math>\sin5x=16\sin^5 x-20\sin^3 x+5\sin x,\,</math>
<math>\cos5x=16\cos^5 x-20\cos^3 x+5\cos x.\,</math>
  • Если sin 5x = 0 или cos 5x = 0, обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
<math>16y^5-20y^3+5y=0.\,</math>
Один из корней равен 0, так что полученное уравнение четвёртой степени может быть решено как квадратное для y2.
  • Если же sin 5x = 1 или cos 5x = 1, опять-таки обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
<math>16y^5-20y^3+5y-1=0,\,</math>
что мы рассматриваем как:
<math>(y-1)\left(4y^2+2y-1\right)^2=0.\,</math>

n × Шаблон:Sfrac

9° = 45 − 36 и 27° = 45 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × Шаблон:Sfrac

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, и 42° = 60 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × Шаблон:Sfrac

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 и 39° = 54 − 15, так что можно использовать формулу разности (или суммы) для синуса и косинуса.

Способы упрощения выражений

Рационализация знаменателя

  • Если знаменатель является корнем натуральной степени n > 1, числитель и знаменатель нужно умножить на этот радикал в степени n − 1: <math>\tfrac1{\sqrt3}=\tfrac{\sqrt3}3</math>.
  • В общем случае если знаменатель — алгебраическое число второй степени (комплексное число вида <math>q\pm\sqrt{r}</math>, где q и r рациональны), то числитель и знаменатель нужно умножить на сопряжённое ему число: <math>\tfrac1{1+\sqrt3}=\tfrac{1-\sqrt3}{(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)}=\tfrac{1-\sqrt3}{-2}.</math>
  • В некоторых случаях знаменатель нужно рационализировать больше одного раза:
    • <math>\csc\tfrac{2\pi}5=\tfrac4\sqrt{10+2\sqrt5}=\tfrac{4\sqrt{10-2\sqrt5}}{\sqrt{(10+2\sqrt5)(10-2\sqrt5)}}

=\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{\sqrt5}=\tfrac{\sqrt{10(5-\sqrt5)}}5. </math>

  • А если знаменатель представляет собой алгебраическое число более чем второй степени, то лучше всего будет не умножать на сопряжённые числа (хотя это тоже имеет место), а найти минимальный многочлен этого алгебраического числа, выразить через него многочлен, одним из корней какого является число, обратное этому числу, и найти корни последнего.
    • Дано число <math>\sec\tfrac{2\pi}7=\frac{6}{-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt3i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt3i}{2}}}.</math> Обратная к нему величина, умноженная на 2, является корнем многочлена <math>b^3+b^2-2b-1</math> (это было показано выше). Тогда сам секанс, делённый на 2, — корень многочлена <math>(b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^3</math>, и в итоге <math>\sec\tfrac{2\pi}7=\tfrac23(-2+\sqrt[3]{\tfrac{-7+21\sqrt3i}{2}}+\sqrt[3]{\tfrac{-7-21\sqrt3i}{2}}).</math>

Превращение дроби в сумму (разность) двух (или более) дробей

Иногда помогает разбиение одной дроби на сумму нескольких и дальнейшее их упрощение по отдельности.

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Этот план может помочь, если выражение состоит из одного составного члена и в нём присутствует только один тип радикала. Возведите член в квадрат, сложите как члены и извлеките квадратный корень. Этот способ может оставить вложенные радикалы, но часто такое выражение проще первоначального.

Упрощение выражений с вложенными радикалами

Шаблон:Main В основном вложенные радикалы не упрощаются. Но если

<math>\sqrt{a \pm b\sqrt c}\,</math>

где a, b и c — рациональные числа, получаем, что

<math>R=\sqrt{a^2-b^2c}\,</math>

рационально, затем оба выражения

<math>d=\frac{a + R}{2}\text{ и }e=\frac{a - R}{2}\,</math>

рациональны; следовательно

<math>\sqrt{a\pm b\sqrt c}=\sqrt{d}\pm\sqrt{e}. \,</math>

Например,

<math>4\sin18^\circ=\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1. \,</math>
<math>4\sin15^\circ=2\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right).</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Refless

Шаблон:Тригонометрия

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Статья
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Тригонометрические_константы&oldid=10950647