Русская Википедия:Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Файл:TrigFunctionDiagram.svg

Пример шести тригонометрических функций угла Шаблон:Math радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью Шаблон:Mvar, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси Шаблон:Mvar от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	<math>\operatorname{sin}^2 \alpha + \operatorname{cos}^2 \alpha = 1</math>	<math>\forall \alpha</math> (то есть любое значение α)
1.2	<math> \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha </math>	<math> \alpha\neq\frac\pi2+\pi n</math> при <math> n\in\Z</math>
1.3	<math> \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha </math>	<math> \alpha\neq\pi n,\quad n\in\Z</math>
1.4	<math>\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 </math>	<math> \alpha\neq\frac{\pi n}2,\quad n\in\Z</math>

Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на <math>\cos^2 \alpha</math> и <math>\sin^2 \alpha</math> соответственно.
Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Файл:AngleAdditionDiagramSine.svg

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов

Файл:AngleAdditionDiagramTangent.svg

Иллюстрация форм сложения тангенсов.

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	<math> \sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta </math>
2.2	<math> \cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta </math>
2.3	<math> \operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta} </math>
2.4	<math> \operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha} </math>

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Важно

Формула (2.3) верна при <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\alpha \pm \beta</math>, отличных от <math>{\pi \over 2} + \pi n</math>, <math>n \in \mathbb Z</math>.

Шаблон:Hider

Формулы двойного угла и половинного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если Шаблон:Math приравнять Шаблон:Math:

№	Формулы двойного угла
3.1	<math> \operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}\ {\cos \alpha} = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} </math>
3.2	<math> \operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}</math> <math> \operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha} </math>
3.3	<math> \operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} </math>
3.4	<math> \operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} </math>

Шаблон:Hider Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

№	Формулы половинного угла
3.5	<math>\sin{\alpha\over 2}=\pm\sqrt{1-\cos\alpha \over 2}</math>
3.6	<math>\cos{\alpha \over 2}=\pm\sqrt{1+\cos\alpha\over 2}</math>
3.7	<math>\operatorname{tg}{\alpha \over 2}=\pm\sqrt{1-\cos\alpha \over 1+\cos\alpha}={\sin\alpha \over 1+\cos\alpha}={1-\cos\alpha \over \sin\alpha} = {-1\pm\sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}\over \operatorname{tg} \alpha}</math>
3.8	<math>\operatorname{ctg}{\alpha \over 2}=\pm\sqrt{1+\cos\alpha \over 1-\cos\alpha}={\sin\alpha \over 1-\cos\alpha}={1+\cos\alpha \over \sin\alpha} = \operatorname{ctg}{\alpha}\pm\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha}</math>

Шаблон:Комментарий

Важно

{{{1}}}

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять 2α:

№	Формулы тройного угла
4.1	<math>\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha</math>
4.2	<math>\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha</math>
4.3	<math>\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}</math>
4.4	<math>\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}</math>

Шаблон:Hider

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус	№	Косинус
5.1	<math>\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}</math>	5.5	<math>\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}</math>
5.2	<math>\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}</math>	5.6	<math>\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}</math>
5.3	<math>\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}</math>	5.7	<math>\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}</math>
5.4	<math>\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}</math>	5.8	<math>\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}</math>

№	Произведение
5.9	<math>\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}</math>
5.10	<math>\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}</math>
5.11	<math>\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}</math>
5.12	<math>\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}</math>

Формулы преобразования произведения функций

№	Формулы преобразования произведений функций
6.1	<math> \sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2} </math>
6.2	<math> \sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha - \beta) + \sin ( \alpha + \beta) }{2} </math>
6.3	<math> \cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)}{2} </math>

Шаблон:Hider

Формулы преобразования суммы функций

№	Формулы преобразования суммы функций
7.1	<math> \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}</math>
7.2	<math> \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}</math>
7.3	<math> \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}</math>
7.4	<math> \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta}</math>
7.5	<math> \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin \alpha \sin \beta}</math>

Шаблон:Hider

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при <math> \alpha+\beta+\gamma=360^\circ\colon </math>

<math> \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\sin\frac\alpha2\sin\frac\beta2\sin\frac\gamma2 </math> (7.6).

Решение простых тригонометрических уравнений

<math> \sin x = a.</math>

Если <math>|a|>1</math> — вещественных решений нет.

Если <math>|a| \leqslant 1</math> — решением является число вида <math>x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,</math> где <math>n\in\Z.</math>

<math> \cos x = a.</math>

Если <math>|a|>1</math> — вещественных решений нет.

Если <math>|a| \leqslant 1</math> — решением является число вида <math>x=\pm\arccos a+2\pi n,~n\in\Z.</math>

<math> \operatorname{tg}\, x = a.</math>

Решением является число вида <math>x=\text{arctg}~a+\pi n,~n\in\Z.</math>

<math> \operatorname{ctg}\, x = a.</math>

Решением является число вида <math>x=\text{arcctg}~a+\pi n,~n\in\Z.</math>

Универсальная тригонометрическая подстановка

Шаблон:Main Нижеприведённые тождества имеют смысл, только когда тангенс имеет смысл (то есть при <math>\alpha\ne\pi+2\pi n</math>).

<math> \sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}</math>	<math> \cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}</math>
<math> \operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}</math>	<math> \operatorname{ctg}\, \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}}</math>
<math> \sec\alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}</math>	<math> \csc\alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} {2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}}</math>

Шаблон:Обратите внимание Аналогичные соотношения имеют место и для котангенса (<math>\alpha\ne2\pi n</math>):

<math> \sin\alpha =\frac{2~\text{ctg}~\frac\alpha2} {1+\text{ctg}^2\frac\alpha2}</math>	<math> \cos\alpha = \frac{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1}{\text{ctg}^2\frac\alpha2+1}</math>
<math> \text{tg}~\alpha=\frac{2~\text{ctg}~\frac\alpha2}{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1}</math>	<math> \text{ctg}~\alpha=\frac{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1}{2~\text{ctg}~\frac\alpha2}</math>
<math> \sec\alpha=\frac{\text{ctg}^2\frac\alpha2+1}{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1}</math>	<math> \csc\alpha =\frac{1+\text{ctg}^2\frac\alpha2}{2~\text{ctg}~\frac\alpha2}</math>

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

<math> a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi),</math>

где <math>a,b\in\R,</math> <math>a</math> и <math>b</math> не равны нулю одновременно, <math>\varphi</math> — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

<math> \left\{ \begin{matrix} \sin \varphi= \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \cos \varphi= \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} .\end{matrix} \right. </math>

Примечание. Из вышеприведённой системы при <math>a\ne0</math> следует, что <math>\mathrm{tg}\,\varphi\,=\,\tfrac ba</math>, однако нельзя всегда считать, что <math> \varphi=\text{arctg}~\tfrac ba</math>, так как арктангенс определяет угол от <math>-\pi/2</math> до <math>\pi/2</math>, а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки <math>a</math> и <math>b,</math> чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол <math>\varphi</math>, в результате чего добавлять или убавлять <math>\pi</math> при необходимости.

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Шаблон:Main

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа <math>x</math> выполнено следующее равенство:

где <math>e</math> — основание натурального логарифма,

<math>i</math> — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции <math>\sin x</math> и <math>\cos x</math> следующим образом:

<math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}, \qquad \qquad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.</math>

Отсюда следует, что

<math>\operatorname{tg}\, x = -i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}, \qquad \qquad \operatorname{ctg}\, x = i\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}},</math>

<math> \sec x = \frac{2}{e^{ix}+e^{-ix}}, \qquad \qquad \operatorname{cosec}\, x=\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}.</math>

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также

Шаблон:Тригонометрия

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Тригонометрические тождества

Содержание

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы двойного угла и половинного угла

Формулы тройного угла

Формулы понижения степени

Формулы преобразования произведения функций

Формулы преобразования суммы функций

Решение простых тригонометрических уравнений

Универсальная тригонометрическая подстановка

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

См. также

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты