Русская Википедия:Трёхгранник Френе
Репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых, то есть таких, что первая и вторая производная линейно независимы в любой точке.
Определение
Пусть <math>r(s)</math> — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов <math>\tau</math>, <math>\nu</math>, <math>\beta</math>, сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой <math>r(s)</math>, где
- <math>\tau = \dot{r}(s)</math> — единичный касательный вектор,
- <math>\nu = \frac{\ddot{r}(s)}{||\ddot{r}(s)||}</math> — единичный вектор главной нормали,
- <math>\beta = [\tau,\nu]</math> — единичный вектор бинормали к кривой в данной точке.
Свойства
- Если <math>s</math> — естественный параметр <math>s</math> кривой, то векторы <math>{\tau}, {\nu}, {\beta}</math> связаны соотношениями:
- <math> \begin{aligned}\dot{\tau} &= k\cdot {\nu},
\\ \dot{\nu} &= - k\cdot {\tau} + t\cdot{\beta}, \\ \dot{\beta} &= - t\cdot {\nu},\end{aligned}</math>
- называемыми формулами Френе. Величины
- <math> k = ||\ddot r (s)||, \quad t = - \langle \dot{\beta},\; {\nu} \rangle </math>
- называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.
- Функции <math>k(s)</math> и <math>t(s),</math> определяют кривую с точностью до движения пространства.
- Более того в случае если <math>k(s)>0</math>, такая кривая существует.
Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника
Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору <math> {v} = v {\tau} </math>. Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения: <math> {a} = \dot{v} {\tau} + v^2 k {\nu}</math>. Компоненту при векторе <math> {\tau} </math> называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе <math> {\nu}</math> называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется направление движения точки.
Вариации и обобщения
При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.
Пусть <math>\gamma(s)</math> — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей <math> {\nu _o}</math>, таких что двойка <math>({\tau},{\nu _o})</math> образуют правый базис в каждой точке <math> \mathbf \gamma(s)</math>. Ориентированной кривизной кривой <math>\gamma</math> в точке <math>s</math> называют число <math>k _o = \langle \ddot\gamma (s),\; {\nu _o} \rangle </math>. В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны
<math>\dot{\tau} = k _o {\nu _o} \quad \dot{\nu _o} = -k _o {\tau}</math>.
По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида <math>k _o = f(s)</math> называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.
См. также
- Трёхгранник Дарбу — аналогичная конструкция для кривой на поверхности.
Литература
