Русская Википедия:Трёхмерная сфера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Hypersphere coord.PNG

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются в <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Уравнение

В декартовых координатах <math>(x_0, x_1, x_2, x_3)</math> трёхмерная сфера радиуса <math>r</math> может быть задана уравнением

<math>(x_0 - C_0)^2 + (x_1 - C_1)^2 + (x_2 - C_2)^2 + (x_3 - C_3)^2 = r^2.</math>

Рассматривая комплексное пространство <math>\Complex^2</math> как вещественное <math>\R^4</math>, уравнение сферы может быть рассмотрено как

<math>S^3 = \left\{(z_1, z_2) \in \Complex^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}.</math>

Аналогично, в пространстве кватернионов <math>\mathbb{H}^1</math>:

<math>S^3 = \left\{q \in \mathbb{H} : \|q\| = 1\right\}.</math>

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

<math>x_0 = r \cos\psi,</math>

<math>x_1 = r \sin\psi \cos\theta,</math>

<math>x_2 = r \sin\psi \sin\theta \cos\phi,</math>

<math>x_3 = r \sin\psi \sin\theta \sin\phi.</math>

Свойства

Трёхмерная сфера <math>S^3</math> является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства <math>\mathbb{R}^3</math>.

Групповая структура

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера <math>S^3</math> является группой Ли. Среди <math>n</math>-мерных сфер таким свойством обладают только <math>S^1</math> и <math>S^3</math>.

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы <math>S^3</math> с помощью матриц Паули:

<math>x_1+ x_2 i + x_3 j + x_4 k \mapsto \begin{pmatrix}\;\;\,x_1 + i x_2 & x_3 + i x_4 \\ -x_3 + i x_4 & x_1 - i x_2\end{pmatrix}.</math>

Поэтому группа <math>S^3</math> изоморфна матричной группе Ли <math>\mathrm{SU}(2)</math>.

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа

Если определить действие группы <math>U(1)</math>:

<math>(z_1, z_2) \cdot \lambda = (z_1\lambda, z_2\lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb U(1),</math>

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере <math>S^2</math>. При этом на сфере <math>S^3</math> возникает структура расслоения с базой <math>S^2</math> и слоями, гомеоморфными <math>U(1)</math>, то есть окружности <math>S^1</math>. Это расслоение называется расслоением Хопфа.

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

<math>p : (z_1, z_2) \mapsto (z_1:z_2).</math>

Точка Шаблон:Math сферы <math>S^3</math> отображается в точку Шаблон:Math комплексной проективной прямой Шаблон:Math, которая диффеоморфна двумерной сфере <math>S^2</math>.

Гомотопические группы сферы

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа <math>\pi_1 (S^3) = \{0\}</math>. Также нулевой является группа <math>\pi_2 (S^3) = \{0\}</math>.

См. также

• Гипотеза Пуанкаре

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorldШаблон:Ref-en Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.