Русская Википедия:Угол параллельности
Материал из Онлайн справочника
У́гол паралле́льности в геометрии Лобачевского — угол между перпендикуляром к данной прямой и асимптотически параллельной прямой, проведённой из точки, не лежащей на данной прямой.
В евклидовой геометрии угол параллельности всегда прямой.
В геометрии Лобачевского, угол параллельности всегда острый. На плоскости Лобачевского с кривизной −1 угол параллельности для точки на расстоянии <math>a</math> от прямой обычно обозначается <math>\Pi(a)</math>.
Свойства и соотношения
- <math>\Pi(a)</math> является острым углом при катете, равном <math>a</math>, в прямоугольном гиперболическом треугольнике, который имеет две асимптотические параллельные стороны.
- <math> \lim_{a\to 0} \Pi(a) = \tfrac{1}{2}\cdot\pi\quad\text{ и }\quad\lim_{a\to\infty} \Pi(a) = 0. </math>
- <math> \sin\Pi(a) = \operatorname{sech} a = \frac{1}{\operatorname{ch} a} =\frac{2}{e^a + e^{-a}} \ , </math>
- <math> \cos\Pi(a) = \operatorname{th} a = \frac {e^a - e^{-a}} {e^a + e^{-a}} \ , </math>
- <math> \operatorname{\rm tg}\Pi(a) = \operatorname{csch} a = \frac{1}{\operatorname{sh} a} = \frac {2}{e^a - e^{-a}}</math>
- <math> \operatorname{\rm tg} \left( \tfrac{1}{2}\cdot\Pi(a) \right) = e^{-a}, </math>
- <math> \Pi(a) = \tfrac{1}{2}\cdot\pi - \operatorname{gd}(a), </math>
где sh, ch, th, sech и csch — гиперболические функции, а gd — функция Гудермана.
История
Угол параллельности рассматривался Лобачевским[1]. В частности, он вывел соотношение
- <math> \operatorname{\rm ctg} \left( \tfrac{1}{2}\cdot\Pi(a) \right) = e^a. </math>
Ссылки
Литература
