Русская Википедия:Упорядоченное кольцо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо <math>R</math> (обычно коммутативное), для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> и кольца целых кратных.

Файл:Number-line-2.svg

Упорядоченное кольцо целых чисел на числовой прямой

Определение

Пусть <math>R</math> — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение <math>\leqslant</math> (меньше или равно) со следующими свойствами.

1. Рефлексивность: <math>x \leqslant x</math>.
2. Транзитивность: если <math>x \leqslant y</math> и <math>y \leqslant z</math>, то <math>x \leqslant z</math>.
3. Антисимметричность: если <math>x \leqslant y</math> и <math>y \leqslant x</math>, то <math>x=y</math>.
4. Линейность: все элементы <math>F</math> сравнимы между собой, то есть либо <math>x \leqslant y</math>, либо <math>y \leqslant x</math>.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:

5. Если <math>x \leqslant y</math>, то для любого z: <math>x+z \leqslant y+z</math>.
6. Если <math>0 \leqslant x</math> и <math>0 \leqslant y</math>, то <math>0 \leqslant x y</math>.

Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо <math>R</math> называется упорядоченнымШаблон:Sfn.

Примеры упорядоченных колец

• Кольцо целых чисел <math>\mathbb{Z}.</math>
• Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу <math>k</math> (не обязательно целому).
• Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами.
• Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)Шаблон:Sfn.

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: <math>x \geqslant y</math> означает, что <math>y \leqslant x</math>.

Отношение больше: <math>x > y</math> означает, что <math>x \geqslant y</math> и <math>x \ne y</math>.

Отношение меньше: <math>x < y</math> означает, что <math>y>x</math>.

Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.

Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца <math>R</math> часто обозначается через <math>R_+.</math>

Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.

Основные свойства

Для всех <math>x,y,z \in R</math> имеют место следующие свойства.

• Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если <math>x</math> положителен, то <math>-x</math> отрицателен, и наоборот.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если <math>x \leqslant y</math> и <math>x' \leqslant y'</math>, то <math>x+x' \leqslant y+y'</math>.

• Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:

Если <math>x \leqslant y</math> и <math>z \geqslant 0</math>, то <math>z x \leqslant z y</math>.

• Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
• Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
  • Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен)Шаблон:Sfn.
  • Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда <math>1>0</math> (так как 1 есть квадрат самой себя).
• Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
• Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу <math>\mathbb{Z}</math> целых чиселШаблон:Sfn.

Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения

• Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить.
• Конечные поля.
• p-адические числа.

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элемента <math>x:</math>

<math>|x| = \max(x, -x)</math>

Здесь функция <math>\max</math> осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех <math>x,y</math> из кольца)Шаблон:Sfn.

• <math>|x|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>x=0</math>.
• Для всех ненулевых <math>x</math> и только для них <math>|x|>0</math>.
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: <math>|x| = |{-x}|</math>
• Неравенство треугольника: <math>|x + y| \leqslant |x| + |y|</math>.
• Мультипликативность: <math>|xy| = |x| |y|.</math>
• <math>|x| \leqslant y</math> равносильно <math>-y \leqslant x \leqslant y</math>

Вариации и обобщения

Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:

• Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным, то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка.
• Вместо кольца имеется полукольцо, то есть в нём, вообще говоря, нет вычитанияШаблон:Sfn. Пример: натуральный ряд, расширенный нулём.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Ordered ring на сайте PlanetMath Шаблон:Ref-en.