Русская Википедия:Уравнение (неравенство) с параметрами
Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.
Решить уравнение с параметром означает:
- Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
- Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.
Пример линейного уравнения с параметром:
- <math>
a\,x+1=4, </math>
Пример нелинейного уравнения с параметром:
- <math>
\mbox{log}_{x^2}\frac{a+3}{7-x}=5, </math> где <math> x </math> — независимая переменная <math> a </math> — параметр.
Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.
Примеры
- Пример 1.При каком <math>a</math> квадратное уравнение <math>{x^2}+3\,x-a=0</math> имеет ровно один корень?
Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: <math>D=9+4\,a</math>. Далее имеем: <math>9+4\,a=0</math>, откуда <math>a=-\tfrac{9} {4}</math>.
- Ответ:<math>a=-\frac{9}{4}</math>.
- Пример 2. При каком <math>a</math> система уравнений :
<math> \begin{cases}
x^2+y^2-2ax-2y-8+a^2=0,\\ x^2+y^2-4x-2y+1=0
\end{cases} </math>.
имеет ровно два решения?
Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты: <math> \begin{cases}
x^2+y^2-2ax-2y-8+a^2=0,\\ x^2+y^2-4x-2y+1=0
\end{cases} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \begin{cases}
(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2y+1)=9, \\ (x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=4
\end{cases} </math> <math> \Leftrightarrow </math> <math> \begin{cases}
(x-a)^2+(y-1)^2=9, \\ (x-2)^2+(y-1)^2=4
\end{cases} </math>
Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть не что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке <math>(a;1)</math>, радиус <math>3</math>, а вторая центр в точке <math>(2;1)</math> и радиус <math>2</math>. Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если <math>a\in (-3;1)\cup(3;7)</math>. И задачу можно считать решённой.
- Ответ:<math>a\in (-3;1)\cup(3;7)</math>.
- Пример 3. При всех <math>a</math> решить неравенство <math>ax^2+(a+1)x+1 \geqslant 0</math>.
Решение. Рассмотрим три случая:
- Если <math>a=0</math>, то неравенство приобретает вид <math>x+1\geqslant 0 \Leftrightarrow x \in [-1;+ \infty )</math>;
- Если <math>a \geqslant 0</math>, то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде <math>x \in (- \infty ;x_1] \cup [x_2 ;+ \infty)</math>, где <math>x_1</math>,<math> x_2</math> - корни многочлена и <math>x_1 \leqslant x_2</math>. Далее находим: <math>x_1 =\cfrac{-a-1- \sqrt{a^2 +2a+1-4a}} {2a} \Leftrightarrow x_1 = \cfrac{-a-1-| a-1 |} {2a} = \begin{cases} -1, a \geqslant 1,\\ -\tfrac{1} {a}, 0 \leqslant a \leqslant 1 \end{cases} </math>
<math>x_2 = \begin{cases} -\tfrac{1} {a}, a \geqslant 1 , \\ -1, 0 \leqslant a \leqslant 1 \end{cases} </math>
Следовательно, <math>x \in (-\infty ; -1] \cup [-\tfrac{1} {a} ; +\infty)</math>, если <math>a \geqslant 1</math> и <math>x\in (-\infty ;-\tfrac{1} {a}] \cup [-1; +\infty)</math>, если <math>0 \leqslant a \leqslant 1 </math>.
- 3. Если <math>a \leqslant 0</math>, то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: <math>x \in [x_1 ; x_2 ] \Leftrightarrow x \in [-1 ; -\tfrac{1} {a} ] </math>.
Нам остается лишь записать ответ.
- Ответ: если <math>a=0</math>, то <math> x \in [-1;+ \infty )</math>; если <math>a \geqslant 1</math>, то <math>x \in (-\infty ; -1] \cup [-\tfrac{1} {a} ; +\infty)</math>; если <math>0 \leqslant a \leqslant 1 </math>, то <math>x\in (-\infty ;-\tfrac{1} {a}] \cup [-1; +\infty)</math>; если <math>a \leqslant 0</math>, то <math>x \in [-1 ; -\tfrac{1} {a} ] </math>.
См. также
