Русская Википедия:Уравнение Льенара

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнение Лиенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Лиенара.

Определение

Пусть <math>f</math> и <math>g</math> — две гладкие функции в пространстве <math>R^3</math>. Пусть <math>g</math> — нечётная функция, а <math>f</math> — чётная. Тогда уравнение вида

<math>{d^2x \over dt^2}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0</math>

называется уравнением Лиенара.

Кроме того, уравнение Лиенара можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену <math>v = {dx \over dt}</math>. Тогда уравнение Лиенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: <math>v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0</math>

Примеры

• Осциллятор Ван дер Поля <math>{d^2x \over dt^2} - \mu (1-x^2) {dx \over dt} + x= 0</math> имеет вид уравнения Лиенара при <math>\left \{ \begin{matrix} f(x)=\mu(1-x^2) \\ g(x)=x \end{matrix} \right.</math>.

Связанные определения

Система Лиенара

Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

<math>F(x) := \int_0^x f(\xi) d\xi</math>;

<math>x_1:= x</math>;

<math>x_2:={dx \over dt} + F(x)</math>.

Тогда система вида

<math>\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{h}(x_1, x_2) := \begin{bmatrix} x_2 - F(x_1) \\ -g(x_1) \end{bmatrix}</math>

называется системой Лиенара.

Теорема Лиенара

Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

• <math>g(x)>0</math> для всех <math>x>0</math>;
• <math>\lim_{x \to \infty} F(x) := \lim_{x \to \infty} \int_0^x f(\xi) d\xi\ = \infty;</math>
• <math>F(x)</math> имеет только один положительный корень при некотором значении параметра <math>p</math>, причём

<math>F(x)<0</math> при <math>0<x<p</math> и

<math>F(x)>0</math> и монотонна при <math>x>p</math>.

См. также

• Осциллятор