Русская Википедия:Уравнение Риккати
Шаблон:Другие значения термина Уравнение Рикка́ти — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
- <math>\frac{dx}{dt} = a(t)x^2 + b(t)x + c(t). \quad (*)</math>
Уравнением Риккати называют также многомерный аналог <math>(*)</math>, то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными <math>x_1, \ldots, x_n,</math> правые части которых являются многочленами второй степени от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с зависящими от <math>t</math> коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии[1], теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем[2], вариационном исчислении[3], теории конформных отображений, квантовой теории поля[4].
История
Частный случай такого уравнения:
- <math>b\frac{dx}{dt} = x^2 + at^{\alpha}, \quad (**)</math>
где <math>\alpha,\, a,\, b</math> — не равные нулю постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший)[5][6][7]. Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: <math>\alpha = {4n}/{(1-2n)}, \ n \in \mathbb{N},</math> или <math>\alpha=-2.</math> Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях <math>\alpha</math> решение уравнения <math>(**)</math> нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.
Уравнение вида <math>(*)</math> часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида <math>(**)</math> — специальным уравнением Риккати.
Свойства
- Уравнение Риккати в случае <math>a(t)=0</math> является линейным и интегрируется в квадратурах.
- Уравнение Риккати в случае <math>c(t)=0</math> является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены <math>y=1/x.</math>
- Общее решение уравнения Риккати является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением Риккати.
- Если <math>x_1(t), \ldots, x_4(t)</math> — частные решения уравнения Риккати, соответствующие значениям <math>c_1, \ldots, c_4</math> постоянной интегрирования, то имеет место тождество
- <math>\frac{x_3(t)-x_1(t)}{x_3(t)-x_2(t)} : \frac{x_4(t)-x_1(t)}{x_4(t)-x_2(t)} \equiv \frac{c_3-c_1}{c_3-c_2} : \frac{c_4-c_1}{c_4-c_2}. \quad (***)</math>
- Левая часть тождества <math>(***)</math> — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати. Таким образом, общее решение уравнения восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле <math>(***)</math>.
Применения
- В римановой геометрии уравнению Риккати
- <math>S'(V)+S^2(V)+R(V,T)T=0</math>
- удовлетворяют операторы формы для эквидистанционных поверхностей вдоль перпендикулярной к ним геодезической с касательным полем <math>T</math>. Как и уравнение Якоби, это уравнение применяется при исследовании геодезических.
Вариации и обобщения
Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение
- <math>\frac{dX}{dt} = XA(t)X + B_1(t)X + XB_2(t) + C(t)</math>
относительно неизвестной квадратной матрицы <math>X=(x_{ij})</math> порядка <math>n</math>, в котором <math>A,B_1,B_2,C</math> — заданные квадратные матрицы порядка <math>n</math> с зависящими от переменной <math>t</math> коэффициентами.
В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида
- <math>\frac{dW}{dt} = (R(t)+W) \cdot P^{-1}(t)\cdot (R^*(t)+W) - Q(t)</math>
относительно неизвестной квадратной матрицы <math>W=(w_{ij})</math> порядка <math>n</math>, в котором <math>P,Q,R</math> — заданные квадратные матрицы порядка <math>n</math> с зависящими от переменной <math>t</math> коэффициентами, причем <math>\det P\neq 0,</math> звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала
- <math>J=\int f(t,x,\dot x) \,dt, \quad x = (x_1, \ldots, x_n),</math>
в стационарной точке <math>\widehat x(\cdot).</math> При этом матрицы
- <math>P(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial \dot x_i \partial \dot x_j}\Bigr) \Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \,
Q(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}, \ \, R(t)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial \dot x_j}\Bigr)\Bigl|_{\widehat x(t)}. </math>
Литература
- Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
- Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.
Ссылки
Примечания
- ↑ Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
- ↑ Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система.
- ↑ Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
- ↑ Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
- ↑ Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
- ↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901.Шаблон:Недоступная ссылка
- ↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.