Русская Википедия:Уравнение Фишера (математика)
Шаблон:Другие значения Уравнение Фишера (Шаблон:Lang-en, также известно как уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова, уравнение КПП или уравнение Фишера — КПП) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка:
- <math> \frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+aw(1-w).</math>
История
Уравнение названо в честь статистика и биолога Рональда Эйлмера Фишера, предложившего его в 1937 году в контексте популяционной динамики для описания пространственного распределения выгодных аллелей и нашедшего его решение в виде бегущей волны.[1]
Применение
Уравнение Фишера встречается в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетическая функция <math>f(w)=aw(1-w)</math> моделирует также автокаталитическое цепное превращение в теории горения.[2]
Решения
Для скорости волны <math>c\ge 2\sqrt a</math> уравнение допускает решения в виде бегущей волны <math> w(x,t)=w(x\pm ct)=w(z)</math>, причем <math>\lim_{z\rightarrow -\infty}=0,\lim_{z\rightarrow +\infty}=1</math>. Форма решений уникальна для каждой длины волны. Для <math>c< 2\sqrt a</math> таких решений не существует.[1]
В случае скорости <math>c=\pm\frac{5}{\sqrt 6}</math> могут быть получены следующие точные решения:
- <math> w(z)=\left[\pm 1+C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6}) \right ]^{-2}, </math>
- <math> w(z)=\frac{1+2C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6})}{\left[1+C\exp (\mp\frac{z}{\sqrt 6}) \right ]^2}, </math>
где <math>C</math> — произвольная постоянная.[2]
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 R. A. Fisher. The wave of advance of advantageous genes Шаблон:Wayback, Ann. Eugenics 7:353-369, 1937
- ↑ 2,0 2,1 * Шаблон:Книга
