Русская Википедия:Уравнения Петерсона ― Кодацци
Материал из Онлайн справочника
Уравнения Петерсона ― Кодацци (или Петерсона ― Майнарди ― Кодацци) ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.
Уравнения
Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид
- <math>\frac{\partial b_{i1}}{\partial u^2} +\Gamma^1_{i1}b_{12}+\Gamma^2_{i1}b_{22}=
\frac{\partial b_{i2}}{\partial u^1} +\Gamma^1_{i2}b_{11}+\Gamma^2_{i2}b_{21}</math> где <math>b_{ij}</math> ― коэффициенты второй квадратичной формы, <math>\Gamma^i_{jk}</math> ― символы Кристоффеля.
Свойства
- Теорема Бонне. Пусть <math>g=g_{ij}</math> и <math>b=b_{ij}</math>, <math>i,j\in \{1,2\}</math> две гладкие квадратичные формы заданые в односвязной области <math>U</math>. Если <math>g</math> и <math>b</math> удовлетворяют уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в <math>\mathbb{R}^3</math>, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
- Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.
История
Уравнения впервые найдены Петерсоном[1] в 1853, переоткрыты Майнарди[2] и Кодацци(1867)[3].
Примечания
Литература
- Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
- Шаблон:Книга
- ↑ Peterson, K. M. "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. Kandidatenschrift. 1853.
- ↑ Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385—398, 1856.
- ↑ Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. math. pura applicata 2, 101—19, 1868—1869.
