Русская Википедия:Фазовый интеграл
Фазовый интеграл (Шаблон:Lang-en) — один из фундаментальных интегралов квантовой механики, впервые предложенный Фейнманом в начале 1960-х годов. Подобно интегралу по траекториям этот интеграл позволяет находить смещение фазы, обусловленное влиянием какого-то поля. Например, влияние магнитного поля на движение квантовой частицы[1] приводит к смещению фазы:
- <math>\Delta \varphi_H = \frac{e}{\hbar c}\int_S (\mathbf{A}, d\mathbf{l}),</math>
где <math>e</math> — заряд электрона, <math>c</math> — скорость света в вакууме, <math>\hbar</math> — приведённая постоянная Планка, <math>\mathbf{A}</math> — векторный потенциал магнитного поля (в системе СИ измеряется в вольтах) и <math>d\mathbf{l} </math> — элемент траектории движения частицы.
Дифференциальное изменение фазы
На практике более интересен случай не интегрального изменения фазы, когда учитывается абсолютное значение векторного потенциала <math>A</math> (а значит, и магнитного поля <math>B</math>), а дифференциального изменения фазы. Дело в том, что в первом случае при больших значениях амплитуды потенциала <math>A</math> мы будем иметь и большое значение изменения фазы, что не столь интересно как дифференциальный случай, когда фаза изменяется на величину, близкую к <math>2\pi</math>. Например, в интерферометрии более важно не абсолютное значение параметра, а дифференциальное, что собственно и приводит к этому явлению. В квантовых антиточках Голдмана при измерении осцилляций проводимости также более существенно дифференциальное значение магнитного поля <math>\Delta B</math>. Поэтому возникает тривиальная задача нахождения дифференциального изменения фазы <math>\delta(\Delta\varphi_H)</math> при наличии периодичности магнитного поля с периодом <math>\Delta B</math> (а значит и <math>\Delta A</math>). В этом случае общий фазовый интеграл Фейнмана можно переписать в форме:
- <math>\delta(\Delta\varphi_H)=\frac{e}{\hbar c}\delta\int_S(\mathbf{A},\;d\mathbf{l})=\frac{e}{\hbar c}\Delta A\cdot\Delta S,</math>
где <math>\Delta S=2\pi\Delta l_B</math> — длина контура обхода, обусловленного периодичностью <math>\Delta B</math>, а <math>\Delta l_B=\sqrt{\frac{\hbar}{e\Delta B}}</math> — магнитная длина, обусловленная периодичностью <math>\Delta B</math>. Таким образом, находим дифференциальное изменение фазы в форме:
- <math>\delta(\Delta\varphi_H)=\frac{2\pi}{c}\frac{e}{\hbar}\frac{\Delta A}{\sqrt{\Delta B}}=2\pi f_\mathrm{ph}.</math>
Конечно, нас более интересует безразмерное число, или так называемый фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью магнитного поля <math>\Delta B</math>:
- <math>f_\mathrm{ph}=\frac{1}{2\pi}\delta(\Delta\varphi_H)=k_\mathrm{ph}\frac{\Delta A}{\sqrt{\Delta B}},</math>
где <math>k_\mathrm{ph}=\frac{1}{c}\sqrt{\frac{e}{\hbar}}=0{,}130\;015\;34</math> Тл1/2В−1 — фазовая константа, которая зависит только от фундаментальных констант. Основная проблема, что осталась, состоит в том, что на практике достаточно легко измерять только магнитное поле <math>\Delta B</math>, а потенциал <math>\Delta A</math> находится только путём расчётов при определённых допущениях.
Изменение фазы в «квантовой антиточке»
Шаблон:Орисс Ситуация кардинально изменилась с экспериментальной разработкой «квантовых антиточек» Голдманом и построением на их основе «квантовых интерферометров». Дело в том, что во всех экспериментах по исследованию квантового эффекта Холла всегда присутствует не только магнитное поле <math>B</math>, но и электрическое поле <math>E</math>, но оно практически не учитывалось. И только в экспериментах Годмана впервые начался учёт электрического поля и контролировалась его квантизация. Конечно, само электрическое поле, направленное вдоль магнитного поля, непосредственно не измеряется. Обычно измеряется напряжение управления на гетеропереходе <math>V_\mathrm{bg}</math>, а зная толщину гетероперехода, можно вычислить электрическое поле и электрическую индукцию (учитывая диэлектрическую проницаемость полупроводника). Основным результатом экспериментов Голдмана является то, что и магнитное поле <math>\Delta B</math>, и электрическое поле <math>\Delta V_\mathrm{bg}</math> квантуются коррелированно одно с другим (см. рисунки в публикациях Голдмана).
Не менее очевидно, что и магнитный потенциал <math>\Delta A</math> должен коррелировать определённым образом с изменением электрического поля <math>\Delta V_\mathrm{bg}</math>. Размерности магнитного потенциала совпадают с размерностью напряжения на затворе (вольты!), поэтому вполне справедливо допустить, что они равны по величине:
- <math>\Delta A=\Delta V_\mathrm{bg}.</math>
Результаты обработки нескольких статей Голдмана, посвященных квантовым интерферометрам, представлены в следующей таблице:
| <math>\Delta B</math>, Тл | <math>\Delta V_\mathrm{bg}</math>, В | <math>\Delta B/\Delta V_\mathrm{bg}</math>, Тл/B | <math>f_\mathrm{ph}</math> | <math>[f_\mathrm{ph}]</math> | <math>f</math> | рисунок | источник |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>2{,}118\cdot 10^{-2}</math> | 0,882 | <math>2{,}401\cdot 10^{-2}</math> | 0,788 | 4/5 | 2/5 | Fig. 10 | Goldman [1] |
| <math>2{,}79\cdot 10^{-3}</math> | 0,325 | <math>8{,}585\cdot 10^{-3}</math> | 0,800 | 4/5 | 1 | Fig. 2.a, c | Goldman [2] |
| <math>1{,}428\cdot 10^{-3}</math> | 0,3421 | <math>4{,}174\cdot 10^{-3}</math> | 1,177 | 6/5 | 2 | Fig. 2.b, d | Goldman [2] |
| <math>2{,}00\cdot 10^{-2}</math> | 0,882 | <math>2{,}267\cdot 10^{-2}</math> | 0,811 | 4/5 | 2/5 | Fig. 3 | Goldman [2] |
| <math>2{,}00\cdot 10^{-2}</math> | 0,882 | <math>2{,}267\cdot 10^{-2}</math> | 0,811 | 4/5 | 2/5 | Fig. 2 | Goldman [3] |
| <math>2{,}692\cdot 10^{-3}</math> | 0,1154 | <math>2{,}333\cdot 10^{-2}</math> | 0,289 | 1/3 | 1/3 | Fig. 3.b | Goldman [4] |
| <math>2{,}351\cdot 10^{-3}</math> | 0,3143 | <math>7{,}480\cdot 10^{-3}</math> | 0,841 | 4/5 | 1 | Fig. 3.a | Goldman [4] |
| <math>2{,}692\cdot 10^{-3}</math> | 0,1308 | <math>2{,}058\cdot 10^{-2}</math> | 0,328 | 1/3 | 1/3 | Fig. 5.b | Goldman [5] |
| <math>2{,}357\cdot 10^{-3}</math> | 0,3214 | <math>7{,}334\cdot 10^{-3}</math> | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 5.a | Goldman [5] |
| <math>2{,}692\cdot 10^{-3}</math> | 0,1308 | <math>2{,}058\cdot 10^{-2}</math> | 0,328 | 1/3 | 1/3 | Fig. 4.b | Goldman [6] |
| <math>2{,}357\cdot 10^{-3}</math> | 0,314 | <math>7{,}506\cdot 10^{-3}</math> | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 4.a | Goldman [6] |
| <math>2{,}615\cdot 10^{-3}</math> | 0,11154 | <math>2{,}344\cdot 10^{-2}</math> | 0,293 | 1/3 | 1/3 | Fig. 3.b | Goldman [7] |
| <math>2{,}357\cdot 10^{-3}</math> | 0,314 | <math>7{,}506\cdot 10^{-3}</math> | 0,861 | 4/5 | 1 | Fig. 3.a | Goldman [7] |
| <math>7{,}143\cdot 10^{-4}</math> | 0,3846 | <math>1{,}857\cdot 10^{-3}</math> | 1,871 | 9/5 | 4 | Fig. 4(5) | Goldman [8] |
| <math>1{,}85\cdot 10^{-3}</math> | 0,35 | <math>5{,}286\cdot 10^{-3}</math> | 1,058 | 1 | 2 | Fig. 4(5) | Goldman [8] |
| <math>2{,}96\cdot 10^{-3}</math> | 0,2077 | <math>1{,}425\cdot 10^{-2}</math> | 0,496 | 1/2 | 1 | Fig. 4(5) | Goldman [8] |
Безусловно, полученный результат впечатляет, поскольку получены те же дробные значения фазы, что и так называемые дробные значения зарядов Голдмана. Следует отметить, что при вычислении зарядов ошибка увеличивается за счет учёта толщины гетероперехода и его диэлектрической проницаемости.[2]
См. также
Литература
- Давыдов А. С. Квантовая механика. — изд 2-е. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
- Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
- Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — Т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1966. — 344 с.
- Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.
- Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Realization of a Laughlin quasiparticle interferometer: Observation of fractional statistics. Препринт (2005).
- Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Aharonov-Bohm Superperiod in a Laughlin Quasiparticle Interferometer // Phys. Rev. Lett. 95, 246802 (2005). Препринт (2005).
- Goldman V. J., Camino F. E. and Wei Zhou Realization of a Laughlin Quasiparticle Interferometer: Observation of Anyonic Statistics. CP 850, Low Temperature Physics: 24 International Conference on Low Temperature Physics; edited by Y. Takano, S. P. Herschfeld, and A. M. Goldman. 2006 American Institute of Physics. 0-7354-0347-3/06.
- Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Primary-Filling e/3 Quasiparticle Interferometer. Препринт (2006).
- Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of a primary-filling e/3 quasiparticle interferometer. Препринт (2006).
- Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of Laughlin quasiparticle interferometers. Physica E 40 (2008), 949—953
- Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. e/3 Laughlin Quasiparticle Primary-Filling 1/3 Interferometer // Phys. Rev. Lett. 98, 076805 (2007).
- Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Quantum transport in electron Fabry-Perot interferometers". Препринт (2007).
Примечания
- ↑ Фейнман даже ошибочно называет его уравнением квантового движения под влиянием силы Лоренца. В действительности эту роль исполняет теорема Эренфеста.
- ↑ На первый взгляд может показаться, что полученный результат не зависит от свойств материала, из которого сделана антиточка. Но это не так. Действительно, в формулу для изменения фазы входит период магнитной индукции (<math>\Delta B</math>), измеренный в воздухе (а не в гетеропереходе). И хотя относительная проницаемость воздуха близка к единице, в самом гетеропереходе она может быть другой.
