Русская Википедия:Формула Ито

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс <math>X = (X_t)_{t \geqslant 0}</math>, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве <math>\big(\Omega, \mathfrak{F}, (\mathfrak{F}_t)_{t \geqslant 0}, P\big)</math> с потоком <math>(\mathfrak{F}_t)_{t \geqslant 0}</math>.

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение <math>dX_t = a(t, \omega)\,dt + b(t, \omega)\,dB_t</math>, или, в интегральной форме,

<math>X_t = X_0 + \int\limits_0^t a(s, \omega)\,ds + \int\limits_0^t b(s, \omega)\,dB_s,</math>

где <math>B = (B_t, \mathfrak{F}_t)_{t \geqslant 0}</math> — броуновское движение.

Пусть теперь <math>F(t, x)</math> — заданная на <math>\R_+ \times \R</math> непрерывная функция из класса <math>C^{1,2}</math>, то есть имеющая производные <math>\frac{\partial F}{\partial t},\ \frac{\partial F}{\partial x},\ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}.</math>

При этих предположениях выполняется

<math>dF(t, X_t) =

\left[
 \frac{\partial F}{\partial t} +
 a(t, \omega) \frac{\partial F}{\partial x} +
 \frac{1}{2} b^2(t, \omega) \frac{\partial^2F}{\partial x^2}
\right]\,dt +
\frac{\partial F}{\partial x} b(t, \omega)\,dB_t.

</math>

Говоря более строго, при каждом <math>t > 0</math> для <math>F(t, X_t)</math> справедлива следующая формула Ито:

<math>F(t, X_t) = F(0, X_0) +

\int\limits_0^t\left[
 \frac{\partial F}{\partial t} +
 a(s, \omega) \frac{\partial F}{\partial x} +
 \frac{1}{2} b^2(s, \omega) \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}
\right]\,ds +
\int\limits_0^t \frac{\partial F}{\partial x} b(s, \omega)\,dB_s.

</math>

См. также

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Фейнмана — Каца
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения