Русская Википедия:Формула Лейбница для определителей
Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы <math>A = (a_{i,j})</math> размера <math>n \times n</math> через перестановки её элементов:
- <math>\det(A) = \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) \prod_{i = 1}^n a_{i, \tau(i)} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i},</math>
где <math>\sgn</math> — функция знака перестановки в группе перестановок <math>S_n</math>, которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.
С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна:
- <math>\det(A)=\epsilon_{i_1\cdots i_n}{a}_{1i_1}\cdots {a}_{ni_n}</math>.
Названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году.
Единственная Шаблон:Не переведено 5, обращающаяся в единицу на единичной матрице — это функция, определённая формулой ЛейбницаШаблон:Sfn; таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция, полилинейная относительно столбцов, обращающаяся в единицу на единичной матрице.
Вычислительная сложность
Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае <math>\Omega(n! \cdot n)</math> операций, то есть, число операций асимптотически пропорционально факториалу <math>n</math> (числу упорядоченных перестановок из <math>n</math> элементов). Для больших <math>n</math> определитель можно вычислить за <math>O(n^3)</math> операций путём формирования LU-разложения <math>A = LU</math> (обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов), и в этом случае <math>\det A = (\det L) (\det U)</math>, а определители треугольных матриц <math>L</math> и <math>U</math> равняются произведениям диагональных элементов матриц. (В практических приложениях вычислительной линейной алгебры, однако, явное вычисление определителя используется редкоШаблон:Sfn).
Смотрите также
Литература
