Русская Википедия:Формула Фаульхабера
Формула Фаульхабера — выражение для суммы <math>p</math>-х степеней первых <math>n</math> натуральных чисел:
- <math>\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p</math>
как многочлена <math>(p+1)</math>-й степени с коэффициентами, содержащими числа Бернулли:
- <math>\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}</math>.
Названа в честь математика XVII века Иоганна Фаульхабера; также известна как формула Бернулли.
Формулы для первых шести степеней:
- <math>1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2 + n}{2}</math> (треугольные числа)
- <math>1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}</math> (квадратные пирамидальные числа)
- <math>1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}</math> (квадраты треугольных чисел)
- <math>
\begin{align} 1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 & = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \\ & = \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} \end{align} </math>
- <math>
\begin{align} 1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 & = \frac{[n(n+1)]^2(2n^2+2n-1)}{12} \\ & = \frac{2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2}{12} \end{align} </math>
- <math>
\begin{align} 1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 & = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42} \\ & = \frac{6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n}{42} \end{align} </math>
Ссылки
- Шаблон:Cite news
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:Cite book A very rare book, but Knuth has placed a photocopy in the Stanford library, call number QA154.8 F3 1631a f MATH. (Шаблон:Google books)
- Шаблон:Cite journal (Winner of a Lester R. Ford Award)
- Шаблон:Cite newss
- Шаблон:Cite news
