Русская Википедия:Формула суммирования Абеля
Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.
Формула
Пусть <math>a_n</math> — последовательность действительных или комплексных чисел и <math>f (x)</math> — непрерывно дифференцируемая на луче <math>[1, x)</math> функция. Тогда
- <math>\sum_{1\le n \le x} a_n f(n) = A(x)f(x) - \int_1^x A(u)f'(u) \, \mathrm{d}u</math>
где
- <math>A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,.</math>
Примеры
Постоянная Эйлера — Маскерони
Для <math>a_n = 1</math> и <math>f(x) = \frac{1}{x} \,,</math> легко видеть, что <math>A (x) = \lfloor x \rfloor,</math> тогда
- <math> \sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} +\mathrm{ln}(x)-\int_1^x \frac{\{u \}}{u^2}\mathrm{d}u</math>
перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера — Маскерони:
- <math>\gamma = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{u\}}{u^2}\,du</math>, где <math>\left\{t\right\}</math> — дробная часть числа <math>t</math>.
Представление дзета-функции Римана
Для <math>a_n = 1</math> и <math>f (x) = \frac{1}{x^s} \,,</math> аналогично <math>A (x) = \lfloor x \rfloor,</math> тогда
- <math> \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u =s\left(\int_1^\infty \frac{u}{u^{1+s}} \mathrm{d}u-\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u\right)=1+\frac1{s-1}-s\int_1^\infty \frac{\{ u\}}{u^{1+s}} \mathrm{d}u\,.</math>
Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области <math>\Re(s) > 0,</math> поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что <math>\zeta(s)</math> имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.
