Русская Википедия:Формулы Мольвейде

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:LabeledTriangle.svg

Треугольник на плоскости.

Формулы Мольвейде — тригонометрические зависимости, выражающие отношения между длинами сторон и значениями углов при вершинах некоторого треугольника, открытые К. Б. Моллвейде.

Описание

Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

<math>\frac{a+b}{c}=\frac{\operatorname{cos}\;\frac{A-B}{2}}{\operatorname{sin}\;\frac{C}{2}};</math>

<math>\frac{a-b}{c}=\frac{\operatorname{sin}\;\frac{A-B}{2}}{\operatorname{cos}\;\frac{C}{2}},</math>

где A, B, C — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и a, b, c — длины сторон, соответственно между вершинами B и C, C и A, A и B. Формулы названы в честь немецкого математика Карла Мольвейде. Формулы Мольвейде удобно использовать при решении треугольника по двум сторонам и углу между нимиШаблон:Rp и по двум углам и прилежащей к ним стороне. Аналогичные соотношения в сферической тригонометрии носят название формул ДеламбраШаблон:Rp.

Шаблон:Hider{\operatorname{sin}\;\frac{C}{2}};</math>

Из теоремы синусов:

<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}</math>

имеем:

<math>\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}</math>

<math>\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}</math>

откуда следует:

<math>\frac{a+b}{c} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin C}</math>

С учетом формулы двойного угла для синуса:

<math>\sin C = 2 \sin{\frac{C}{2}} \cos{\frac{C}{2}}</math>,

а также формулы для суммы синусов:

<math>\sin A + \sin B = 2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}</math>

имеем:

<math>\frac{a+b}{c} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin C} = \frac{\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}} \cos{\frac{C}{2}}}</math>

По теореме о сумме углов треугольника:

<math>C = \pi - (A + B)</math>

откуда с учётом формулы приведения для косинуса следует, что:

<math>\cos{\frac{C}{2}} = \cos{\frac{\pi - (A + B)}{2}} = \sin{\frac{A+B}{2}}</math>

как следствие имеем:

<math>\frac{a+b}{c} = \frac{\cos{\frac{A-B}{2}}}{\sin{\frac{C}{2}}}</math>

что и требовалось доказать.

}}

Применение

Поделив отдельно правые и левые части последних формул, сразу получим теорему тангенсов

См. также

• Решение треугольников
• Тригонометрия
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции

Литература

• О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин. Толковый словарь математических терминов, М.: Просвещение, 1965.