Русская Википедия:Фундаментальный класс
Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.
Фундаментальный класс многообразия <math>M</math> обычно обозначается <math>[M]</math>.
Определение
Замкнутое ориентируемое многообразие
Если многообразие <math>M</math> размерности <math>n</math> является связным ориентируемым и замкнутым, то <math>n</math>-ая группа гомологий является бесконечной циклической: <math>H_n(M,\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}</math>. При этом, ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма <math>\mathbb{Z} \to H_n(M,\mathbb{Z})</math>. Порождающий элемент называется фундаментальным классом.
Если ориентируемое многообразие <math>M=\bigcup\limits_{i} M_i</math> является несвязным, то в качестве фундаментального класса формально можно сопоставить сумму <math>\sum\limits_{i} [M_i]</math> фундаментальных классов всех его связных компонент <math>M_i</math>. Сопоставление формально, поскольку эта сумма не является порождающим элементом для группы <math>H_n(M,\mathbb{Z})=\bigoplus\limits_{i} H_n(M_i,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\oplus\dots \oplus\mathbb{Z}</math>.
Неориентируемое многообразие
Для неориентируемого многообразия группа <math>H_n(M;\mathbb{Z})=0</math>, если при этом <math>M</math> является связным и замкнутым, то <math>H_n(M;\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2</math>. Порождающий элемент группы <math>H_n(M;\mathbb{Z}_2)</math> называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия <math>M</math>.
<math>\mathbb{Z}_2</math>-фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.
Многообразие с краем
Если <math>M</math> является компактным ориентируемым многообразием с краем <math>\partial M</math>, то <math>n</math>-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: <math>H_n(M,\partial M)\cong \mathbb{Z}</math>. Порождающий элемент группы <math>H_n(M,\partial M)</math> называется фундаментальным классом многообразия с краем.
Двойственность Пуанкаре
Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре
- <math>D: H^k(M;\mathbb{Z}) \to H_{n-k}(M;\mathbb{Z})</math> (для ориентируемого)
и
- <math>D: H^k(M;\mathbb{Z}_2) \to H_{n-k}(M;\mathbb{Z}_2)</math> (для неориентируемого)
многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:
- <math>D(\alpha)=[M]\frown\alpha</math>,
где <math>\frown</math> обозначает <math>\frown</math>-умножение гомологических и когомологических классов.
Степень отображения
Пусть <math>M</math>, <math>N</math> — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности. Если <math>f:M\to N</math> — непрерывное отображение, то
- <math>f_{\ast}[M]=k[N]</math>,
где <math>f_{\ast}</math> — индуцированный <math>f</math> гомоморфизм (групповых колец), а <math>k=\deg(f)</math> — степень отображения <math>f</math>.
Литература
- А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
- А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.
