Русская Википедия:Функции Матьё

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнение Матьё

Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

<math> \frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0, </math>

где <math>a</math> и <math>q</math> - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

Решения уравнения Матьё

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: <math>y(x) = \exp (\mu x) \phi (x)</math>,

где <math>\phi (x)</math> имеет период <math>2 \pi</math>. При <math>\mu = 0</math> эти решения являются периодическими с периодом <math>2 \pi</math> и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: <math>\mathrm{ce}_0(x), \mathrm{ce}_1(x), \mathrm{se}_1(x), \mathrm{ce}_2(x), \mathrm{se}_2(x), ...</math>. Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: <math>\mathrm{ce}_{2n}(x)=\sum_k A_k \cos 2kx, \mathrm{ce}_{2n+1}(x)=\sum_k B_k \cos (2k+1)x, \mathrm{se}_{2n}(x)=\sum_k C_k \sin 2kx, \mathrm{se}_{2n+1}(x)=\sum_k D_k \sin (2k+1)x,</math> где величины <math>A_k, B_k, C_k, D_k</math> являются функциями от величин <math>a, q</math> в уравнении Матьё. Значения <math>A_k, B_k, C_k, D_k</math> можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. также

• Уравнение Хилла

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике / Пер. с англ. — М.: Атомиздат, 1972. — 392 с.
• Уравнение Матье, EqWorld