Русская Википедия:Функции Чебышёва

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Функции ЧебышёваШаблон:Ref+ — теоретико-числовые функции <math>\theta(x)</math> и <math>\psi(x)</math>, связанные с распределением простых чисел и определённые как

<math>\theta(x)=\sum\limits_{p\leqslant x}\ln p</math>

и

<math>\psi(x)=\sum\limits_{m\in\mathbb{N}}\sum\limits_{p^m\leqslant x}\ln p,</math>

где <math>p</math> — простые числа, <math>m</math> — натуральные числа.

Введены русским математиком Пафнутием Чебышёвым.

Свойства

• Определение пси-функции Чебышёва может быть записано через функцию Мангольдта: <math>\psi(x)=\sum\limits_{n\leqslant x}\Lambda(n)</math>.
• Функции Чебышёва связаны соотношением <math>\psi(x)=\theta(x)+\theta(\sqrt{x})+\theta(\sqrt[3]{x})+\dots=\sum_{n=1}^\infty\theta(\sqrt[n]{x})</math> (где только первые несколько слагаемых не равны нулю), откуда следует асимптотическое соотношение <math>\psi(x)=\theta(x)+O(\sqrt{x})</math>.
• Потенцирование даёт: <math>e^{\psi(x)}=\operatorname{lcm}(1,2,...,[x])</math>, <math>e^{\theta(x)}=\prod\limits_{p\leqslant x}p</math>.

Связь с распределением простых чисел

• Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: <math>\psi(x)\sim\theta(x)\sim\pi(x)\ln x</math>.
• Для пси-функции Чебышёва существуют явные формулы, получаемые анализом дзета-функции Римана:

<math>\psi(x)=x-\sum\limits_\rho\frac{x^{\rho}}{\rho}-\ln 2\pi-\frac{1}{2}\ln (1-x^{-2}),</math>

где <math>\rho</math> пробегает все нетривиальные нули дзета-функции.

• Теорема Валле — Пуссена о распределении простых в терминах пси-функции формулируется так:

<math>\psi(x)=x+O(e^{-c\sqrt{\ln x}})</math>

А гипотеза Римана эквивалентна утверждению

<math>\psi(x)=x+O(\sqrt{x}\ln^2 x)</math>

См. также

• Постулат Бертрана

Литература

• Шаблон:Публикация