Русская Википедия:Функциональное уравнение
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Примеры
Функциональному уравнению:
- <math>f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)</math>,
где <math>\Gamma(z)</math> — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана <math>\zeta</math>.
Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
- <math>f(x)={f(x+1) \over x}</math>
- <math>f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)</math>
- <math>f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}</math> (формула дополнения Эйлера)
Функциональное уравнение:
- <math>f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>,
где <math>a, b, c, d</math> являются целыми числами, удовлетворяющими равенству <math>ad - bc = 1</math>, то есть:
- <math>\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1</math>,
определяет <math>f</math> как модулярную форму порядка <math>k</math>.
Функциональные уравнения Коши:
- <math>f(x + y) = f(x) + f(y)</math> — удовлетворяют все линейные однородные функции <math>f(x)=ax</math>,
- <math>f(x + y) = f(x)f(y)</math> — удовлетворяют все показательные функции <math>f(x)=\exp\left(\alpha x\right)=a^x</math>,
- <math>f(xy) = f(x) + f(y)</math> — удовлетворяют все логарифмические функции <math>f(x)=\alpha\log\left(x\right)=\log_a\left(x\right)</math>,
- <math>f(xy)=f(x)f(y)</math> — удовлетворяют все степенные функции <math>f(x)=\exp\left(\alpha\log\left(x\right)\right)=x^a</math>.
Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение <math>f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2)</math> приводится к уравнению <math>g(y_1+y_2)=g(y_1)+g(y_2)</math> после замены <math>g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|</math> (для этого, естественно, нужно, чтобы <math>f(x)</math> не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение <math>f(x) \equiv 0</math>. Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».
Другие:
- <math>f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]</math> — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет <math> f(x)=kx^2 </math>,
- <math>f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2}</math> — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции <math>f(x)=ax+b</math>,
- <math>f(x+y)f(x-y)=f(x)^2</math> — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет <math> f(x)=ac^x </math>,
- <math>f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) f(y)]</math> — уравнение Даламбера,
- <math>f(h(x)) = f(x) + 1</math> — уравнение Абеля,
- <math>f(h(x)) = cf(x)</math> — Шаблон:Iw, решением является функция Кёнигса, связанная с функцией <math> \textstyle h(x) </math>.
Рекуррентные соотношения
Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.
Линейные рекуррентные соотношения:
- <math>a(n) = \sum_{i=1,k}c_i \cdot a(n-i)</math>
(где <math>c_1,c_2,\dots,c_k</math> — константы, не зависящие от <math>n</math>) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:
- <math>a(n) = 3a(n-1) + 4a(n-2)</math>,
достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.
Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию <math>a(n)=\lambda^n</math> с неопределённым параметром <math>\lambda</math> и попробовать найти те <math>\lambda</math>, при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение <math>\lambda^2 = 3\lambda + 4</math> с двумя различными корнями <math>\lambda=-1</math> и <math>\lambda=4;</math> поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула <math>a(n) = d_1 4^n + d_2(-1)^n</math> (константы <math>d_1</math> и <math>d_2</math> подбираются так, чтобы при <math>n=1</math> и <math>n=2</math> формула давала нужные значения для величин <math>a(1)</math> и <math>a(2)</math>). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции <math>n\lambda^n,</math> <math>n^2\lambda^n</math> и так далее.
Одним из широко известных рекуррентных соотношений является <math>a(n) = a(n-1) + a(n-2)</math>, определяющее последовательность Фибоначчи.
Решение функциональных уравнений
Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.
В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых <math>f(f(x)) = x</math>; простейшие инволюции:
- <math>f(x) = -x</math>, <math> f(x) = \frac{1}{x} </math>, <math> f(x) = \frac{1}{1-x} + 1</math>, <math>f(x) = 1-x </math>.
Пример 1. Для решения уравнения:
- <math>f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2</math>
для всех <math>x,y \in \R</math> и <math>f: \R \to \R</math>, положим <math>x=y=0</math>: <math>f(0)^2=f(0)^2+f(0)^2</math>. Тогда <math>f(0)^2=0</math> и <math>f(0)=0</math>. Далее, положив <math>y=-x</math>:
- <math>f(x-x)^2=f(x)^2+f(-x)^2</math>
- <math>f(0)^2=f(x)^2+f(-x)^2</math>
- <math>0=f(x)^2+f(-x)^2</math>
Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит <math>f(x)^2=0</math> для всех <math>x</math> и <math>f(x)\equiv0</math> является единственным решением этого уравнения.
Пример 2. Решить: <math>f\left(\dfrac{x-3}{x+1}\right) + f\left(\dfrac{x+3}{1-x}\right)=x</math>.
Ясно, что <math>x\notin \left\{-1;\, 1\right\}</math>.
Решить такое уравнение — значит отыскать функцию <math>f(x)</math>.
Введём обозначения: <math>g\left(x\right)=\dfrac{x-3}{x+1}</math>, а <math>h\left(x\right)=\dfrac{x+3}{1-x}</math>.
Тогда исходное уравнение приобретёт вид
- <math>f\left(g\left(x\right)\right) + f\left(h\left(x\right)\right)=x.</math>
Функции <math>g\left(x\right)</math> и <math>h\left(x\right)</math> связаны равенством
- <math>g\left(h\left(x\right)\right)=h\left(g\left(x\right)\right)=x.</math>
Кроме того, выполняются соотношения:
- <math>g\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\quad h\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right).</math>
Значит, подставим по отдельности <math>g\left(x\right)</math> и <math>h\left(x\right)</math> в уравнение <math>f\left(g\left(x\right)\right) + f\left(h\left(x\right)\right)=x</math>.
Получим систему:
- <math>
\begin{cases}
f\left(x\right) + f\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right), \\ f\left(g\left(x\right)\right)+ f\left(x\right) =g\left(x\right).
\end{cases} </math> Откуда будем иметь <math>2\cdot f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right) + f\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)</math>.
Или, что то же самое, <math>2\cdot f\left(x\right)+x=g\left(x\right)+h\left(x\right)</math>.
Следовательно, <math>f\left(x\right)= \dfrac{g\left(x\right)+h\left(x\right)-x}{2}</math>.
Литература
- Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
- Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
- Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
- Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.
Ссылки
- Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- IMO Compendium text on functional equations in problem solving.
