Русская Википедия:Функция Лиувилля
В теории чисел, функция Лиувилля <math>\lambda(n)</math> — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае.
Точнее, пусть <math> n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k} </math> — факторизация числа, <math>p_1 < \ldots < p_k</math> — простые числа, <math>a_j</math> — натуральные числа. Тогда
- <math>\lambda(n) = (-1)^{a_1 + \ldots + a_k}</math> (Шаблон:OEIS).
Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса <math>\mu(n)</math>. Если <math>n = a^2 b</math>, где <math>b</math> — число, свободное от квадратов, то
- <math>\lambda(n) = \mu(b).</math>
Сумма функции по всем делителям <math>n</math> является характеристической функцией множества точных квадратов:
- <math>
\sum_{d|n}\lambda(d) = \begin{cases} 1 & n = k^2,\; k \in \N \\ 0 & \sqrt{n} \notin \N. \end{cases} </math> Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда
- <math>\lambda(n) = \sum_{d^2|n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right).</math>
Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к <math>\lambda(n)</math> относительно свёртки Дирихле.
Ряды
Ряд Дирихле функции Лиувилля выражается через дзета-функцию Римана как
- <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.</math>
Кроме того,
- <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)\ln n}{n}=-\zeta(2)=-\frac{\pi^2}{6}.</math>
Ряд Ламберта функции имеет вид
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} =
\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right),</math> где <math>\vartheta_3(q)</math> — тета-функция Якоби.
Литература
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Mathworld
- Шаблон:Springer
