Русская Википедия:Функция Радемахера
Материал из Онлайн справочника
Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году[1]. График функции представляет собой меандр.
Функция Радемахера может быть выражена следующим образом:
- <math>\operatorname{rad}_n(x)=\operatorname{sign}\left(\sin\left(2^{n}\pi x\right)\right)</math>
Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве <math>L^2[0,1]</math>, поскольку:
- <math>\int_0^1 \operatorname{rad}_n(x)\cdot\operatorname{rad}_m(x) \mathrm{d} x = \delta_{mn}</math>,
где <math>\delta_{mn}</math> — символ Кронекера.
Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша:
- <math>\operatorname{wal}_\nu(x)=\operatorname{rad}_{\operatorname{lb}\nu}(x)</math>,
где <math>\operatorname{lb}\nu=\log_2\nu</math> — двоичный логарифм.
Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара <math>\psi(x)</math>:
- <math>\operatorname{rad}_\nu(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty\psi(2^\nu x+k)</math>
Примечания
Ссылки
- Square Wave в WolframMathWorld
- Шаблон:Из