Русская Википедия:Характер представления группы
Материал из Онлайн справочника
Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представленииШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Обычно обозначаются буквой <math>\chi</math>Шаблон:Sfn.
Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.
Определение
Если <math>f</math> — конечномерное представление группы <math>G</math>, то характер этого представления — это функция из <math>G</math> во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу <math>G</math>. Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.
Свойства
- Характеры эквивалентных представлений совпадаютШаблон:Sfn.
- Изоморфные представления имеют одинаковые характерыШаблон:Sfn.
- Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функцийШаблон:SfnШаблон:Sfn.
- Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единицеШаблон:Sfn.
- Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаютсяШаблон:SfnШаблон:Sfn.
- Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентныШаблон:SfnШаблон:Sfn.
- Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицыШаблон:Sfn.
- У взаимно-сопряжённых элементов группы <math>a</math> и <math>b^{-1}ab</math> характеры равныШаблон:Sfn.
- Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементовШаблон:Sfn.
- Для любого элемента группы <math>a \in G</math> <math>\chi(a^{-1})=\overline{\chi(a)}</math>Шаблон:Sfn.
- Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен <math>1</math>Шаблон:Sfn.
Примечания
Литература
