Русская Википедия:Характеристическое число (интегральные уравнения)
Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение <math>\lambda</math>, при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода
- <math>\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy </math>
имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение <math>\varphi(x)</math>, называемое собственной функцией. Здесь <math>G</math> — область в <math>\mathbb R^n</math>, <math>K(x, y)</math> — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром <math>K(x, y)</math>Шаблон:Sfn. Значения <math>\lambda</math>, не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если <math>\lambda</math> — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода
- <math> \varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) </math>
имеет единственное решение при любом свободном члене <math>f(x)</math>; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена <math>f(x)</math>Шаблон:Sfn.
Свойства
Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:
- Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
- Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
- Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:
- <math>|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le \dots, </math>
повторяя при этом число <math>\lambda_k</math> столько раз, какова его кратность.
- <math>\bar \lambda_1, \, \bar \lambda_2, \dots </math> — все характеристические числа союзного ядра <math>K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}</math>.
- Если <math>\lambda_k \ne \lambda_i</math> и <math> \varphi_k = \lambda_k K \varphi_k</math>, <math>\psi_i = \bar \lambda_i K^* \psi_i</math>, то есть <math>\varphi_k</math> и <math>\psi_i</math> — собственные функции ядер <math>K(x, y)</math> и <math>K^*(x, y)</math> соответственно, то <math>(\varphi_k, \psi_i) = 0</math> — собственные функции ортогональны в пространстве <math>L_2(G)</math>.
- Повторное ядро <math>K_p(x, y)</math> имеет характеристические числа <math>\lambda_k^p</math> и те же собственные функции <math>\varphi_k</math>, что и ядро <math>K(x, y)</math>.
- Обратно, если <math>\mu</math> и <math>\varphi</math> — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра <math>K_p(x, y)</math>, то по крайней мере один из корней <math>\lambda_j, \, j = 1, 2, \dots, p,</math> уравнения <math>\lambda^p = \mu</math> является характеристическим числом ядра <math>K(x, y)</math>Шаблон:Sfn.
- Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированнойШаблон:Sfn.
- Характеристические числа совпадают с полюсами резольвентыШаблон:Sfn.
- Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чиселШаблон:Sfn.
- Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чиселШаблон:Sfn.
См. также
- Интегральное уравнение Фредгольма
- Интегральный оператор Фредгольма
- Ядро интегрального уравнения
- Резольвента интегрального уравнения
- Альтернатива Фредгольма
- Собственный вектор
Примечания
Литература
