Русская Википедия:Цепная гомотопия
Материал из Онлайн справочника
Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебре
Определение
Пусть <math>C</math> — цепной комплекс модулей (то есть семейство модулей <math>C_n</math> и модульных гомоморфизмов <math>d_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>), <math>f</math> и <math>g</math> — цепные отображения комплекса <math>C</math> в комплекс <math>C'</math> (то есть такие гомоморфизмы <math>f_n</math> что <math>d_n f_n = f_{n-1}d_n</math>).
Цепной гомотопией между отображениями <math>f</math> и <math>g</math> называется такое семейство гомоморфизмов <math>s_n\colon C_n \to C'_{n+1}</math>, что
- <math>s_{n-1}d_n + d'_{n+1}s_n = f_n - g_n.</math>
Свойства
- Если отображения <math>f</math> и <math>g</math> цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях <math>H_n(C) \to H_n(C')</math> равны (где <math>H_n(C) = \mathrm{Ker}\,d_n / \mathrm{Im}\,d_{n+1}</math>). В самом деле, пусть <math>c\in C_n</math> — цикл, то есть элемент из <math>\mathrm{Ker}\,d_n</math>. Тогда <math>d_n(c)=0</math>. Так как <math>f</math> и <math>g</math> цепно гомотопны, то
- <math>f_n(c)-g_n(c) = s_{n-1}d_n(c) + d'_{n+1}s_n(c) = d'_{n+1}s_n(c)</math>,
- то есть отличаются на границу (элемент <math>\mathrm{Im}\,d'_{n+1}</math>).
- Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств <math>f,g\colon X\to Y</math> индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов <math>C(X)\to C(Y)</math> и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий <math>H(X)\to H(Y)</math> (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).
Литература
- Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Шаблон:М: МЦНМО, 2005
- Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Шаблон:М: Наука, 1989
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Шаблон:М: Мир, 1976
- Маклейн С. Гомология. — Шаблон:М: Мир, 1966
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Шаблон:М: Мир, 1971
