Русская Википедия:Цепь Паппа Александрийского
Цепь Паппа Александри́йского — кольцо внутри двух касающихся кругов, заполненных попарно касающимися кругами меньших диаметров. Исследована Паппом Александрийским в III веке н. э.
Построение
Возьмём точки <math>A, B, C</math> в таком порядке на одной прямой и построим окружности <math>C_U</math> и <math>C_V</math> с диаметрами <math>AB</math> и <math>AC</math> соответственно, центры которых обозначим <math>U</math> и <math>V</math>. Фигура, ограниченная окружностями, схожа с арбелосом (но её граница состоит из двух окружностей вместо трёх дуг) и допускает цепь окружностей, так же как и в теореме Паппа Александрийского. При этом каждый круг из цепи касается окружности <math>C_U</math> снаружи, окружности <math>C_V</math> изнутри и двух соседних окружностей цепи.
Свойства
- Центры <math>P_n</math> кругов цепи расположены на общем эллипсе, фокусами которого являются центры <math>U</math> и <math>V</math> окружностей объемлющей фигуры, поскольку сумма расстояний от центра n-го до точек <math>U</math> и <math>V</math> не зависит от n:
- <math>\overline{\mathbf{P}_{n}\mathbf{U}} + \overline{\mathbf{P}_{n}\mathbf{V}} = \left( r_{U} + r_{n} \right) + \left( r_{V} - r_{n} \right) = r_{U} + r_{V}</math>
- Если <math>r = AC/AB</math>, то центр <math>P_n</math> и радиус <math>r_n</math> n-го круга цепи задаются формулами
- <math>\left(x_n,y_n\right)=\left(\frac {r(1+r)}{2[n^2(1-r)^2+r]}~,~\frac {nr(1-r)}{n^2(1-r)^2+r}\right),</math>
- <math>r_n=\frac {(1-r)r}{2[n^2(1-r)^2+r]}</math>
См. также
Литература
Ссылки
