Русская Википедия:Число Лефшеца
Шаблон:Универсальная карточка Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.
Определение
Пусть <math>X</math> — топологическое пространство, <math>f:X\to X</math> — непрерывное отображение, <math>H_*(X,k)</math> — группы гомологий <math>X</math> с коэффициентами в поле <math>k</math>. Пусть <math>t_n</math> — след линейного преобразования
- <math>f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k)</math>
По определению, число Лефшеца отображения <math>f</math> есть
- <math>\Lambda(f,X)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt_n</math>
Свойства
- Число Лефшеца определено если общий ранг групп <math>H_*(X,k)</math> конечен, и в этом случае не зависит от выбора <math>k</math>.
- Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике <math>X</math>.
Формула Лефшеца
Пусть <math>X</math> — связное ориентируемое <math>n</math>-мерное компактное топологическое многообразие или <math>n</math>-мерный конечный клеточный комплекс, <math>f : X \to X</math> — непрерывное отображение.
Предположим, что все неподвижные точки отображения <math>f : X \to X</math> изолированы.
Для каждой неподвижной точки <math>x\in X</math>, обозначим через <math>i(x)</math> её индекс Кронекера (локальная степень отображения <math>f</math> в окрестности точки <math>x</math>). Тогда формула Лефшеца для <math>X</math> и <math>f</math> имеет вид
- <math>\sum_{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda(f,X).</math>
- В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.
История
Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения <math>n</math>-мерной сферы в себя.
Примечания
