Русская Википедия:Эпиморфизм

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм <math>m:A\to B</math>, такой что из всякого равенства <math>f\circ m=h\circ m</math> следует <math>f=h</math> (другими словами, на <math>m</math> можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма; эпиморфизм, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется биморфизмом.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Например, сюръективный гомоморфизм групп или графов. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение <math>\Z \to \Q</math> — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, биморфизм, не являющийся изоморфизмом).

Свойства

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм <math>j : Y \to X</math>, такой что <math>m \circ j = \mathrm{Id}_Y</math>, то легко проверить, что <math>m</math> — эпиморфизм, домножив равенство <math>f\circ m=h\circ m</math> на <math>j</math> справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция <math>m \circ j</math> двух морфизмов — эпиморфизм, то <math>m</math> должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, <math>m</math> является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: <math>m : X \to Y</math> — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:

<math>\begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,Z) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,Z)\\

g &\mapsto& gm\end{matrix}</math> инъективно для всех <math>Z</math>.

Литература

• Книга:Категории для работающего математика
• Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.