Русская Википедия:Эффект Джанибекова

Материал из Онлайн справочника
Версия от 07:28, 2 октября 2023; EducationBot (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Русская Википедия/Панель перехода}} thumb|thumbtime=1:58|right|320px|Демонстрация в условиях [[Невесомость|невесомости, НАСА]] '''Теоре́ма промежу́точной оси́''', или '''теоре́ма те́ннисной раке́тки''', в классической механике — утверждение о неус...»)
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Dzhanibekov effect.ogv
Демонстрация в условиях невесомости, НАСА

Теоре́ма промежу́точной оси́, или теоре́ма те́ннисной раке́тки, в классической механике — утверждение о неустойчивости вращения твёрдого тела относительно второй главной оси инерции. Является следствием законов классической механики, описывающих движение твёрдого тела с тремя различными главными моментами инерции. Проявление теоремы при вращении такого тела в невесомости часто называют эффектом Джанибекова в честь советского космонавта Владимира Джанибекова, который заметил это явление 25 июня 1985 года во время миссии по спасению космической станции «Салют-7»[1]. Статья, объясняющая это наблюдение, была опубликована в 1991 году[2]. В то же время сама теорема о неустойчивости вращения вокруг промежуточной оси инерции известна давно и доказывается в любом курсе классической механики[3]. Неустойчивость такого вращения часто показывается в лекционных экспериментах. Неустойчивость вращения вокруг промежуточной (средней) оси инерции и устойчивость вращения вокруг двух других осей была впервые обнаружена французским механиком Луи Пуансо в 1834 году и опубликована в его трактате «Новая теория вращения тел»[4][5].

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта относительно главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, в то время как вращение вокруг главной оси с промежуточным моментом инерции (откуда и название теорема промежуточной оси) — нет. Джанибеков увидел это с гайкой-барашком: скрутив её в невесомости с длинной шпильки, он заметил, что она пролетает немного, разворачивается на 180°, потом, ещё немного пролетев, опять разворачивается.

На Земле этот эффект можно увидеть на таком эксперименте: возьмите за ручку теннисную ракетку и попытайтесь подбросить её в воздух так, чтобы она выполнила полный оборот вокруг оси, проходящей в плоскости ракетки перпендикулярно рукоятке, и поймайте за ручку. Почти во всех случаях ракетка выполнит пол-оборота вдоль продольной оси и будет «смотреть» на вас другой стороной. Если подбрасывать ракетку и закручивать её по другим осям, то ракетка сохранит свою ориентацию после полного оборота.

Эксперимент может быть выполнен с любым предметом, который имеет три различных момента инерции, например с книгой или пультом дистанционного управления. Эффект возникает, когда ось вращения немного отличается от второй главной оси предмета; сопротивлением воздуха или гравитацией можно пренебречь[6].

Называть устойчивыми вращения вокруг осей с максимальным и минимальным моментом инерции всё же неправильно, учитывая реальные физические тела. Если существуют какие-либо силы, способные рассеивать энергию вращения, например приливные, тело со временем будет вращаться только вокруг оси с максимальным моментом инерции. Так вращаются все астероиды и планеты, включая Землю. Поэтому спекуляции о возможном повороте оси вращения Земли необоснованны.

Математическое обоснование

Теорема промежуточной оси может быть проанализирована с помощью уравнений Эйлера.

При свободном вращении они принимают следующую форму:

<math>

\begin{align} I_1\dot{\omega}_{1}&=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3,07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)\text{(1)}\\ I_2\dot{\omega}_{2}&=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1,07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)\text{(2)}\\ I_3\dot{\omega}_{3}&=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2.07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)07:28, 2 октября 2023 (+04)\text{(3)} \end{align} </math> Здесь <math>I_1, I_2, I_3</math> обозначают главные моменты инерции, и мы предполагаем, что <math> I_1 > I_2 > I_3.</math> Угловые скорости вращения вокруг трёх главных осей — <math>\omega_1, \omega_2, \omega_3,</math> их производные по времени — <math>\dot\omega_1, \dot\omega_2, \dot\omega_3.</math>

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции <math>I_1.</math> Для определения характера равновесия предположим, что существуют две малые начальные угловые скорости вдоль других двух осей. В результате, согласно уравнению (1), <math>\dot{\omega}_{1}</math> очень мала. Следовательно, зависимостью от времени <math>\omega_1</math> можно пренебречь.

Теперь дифференцируем уравнение (2) по времени и подставим <math>\dot{\omega}_3</math> из уравнения (3):

<math>

\begin{align} I_2 I_3 \ddot{\omega}_{2}&= (I_3-I_1) (I_1-I_2)\omega_1^2\omega_{2}.\\ \end{align} </math> Обратим внимание, что знаки у <math>\omega_2</math> и <math>\ddot\omega_2</math> разные, поскольку множитель <math>(I_3-I_1)</math> отрицателен, а множители <math>(I_1-I_2)</math> и <math>\omega_1^2</math> положительны. Следовательно, изначально малая скорость <math>\omega_2</math> будет оставаться малой и в дальнейшем. Дифференцируя уравнение (3), можно доказать и устойчивость относительно возмущения <math>\omega_3.</math> Поскольку обе скорости <math>\omega_2</math> и <math>\omega_3</math> остаются малыми, из (1) следует, что малой остаётся и <math>\dot{\omega}_{1}</math>. Поэтому вращение вокруг оси 1 происходит с постоянной скоростью.

Аналогичное рассуждение показывает, что вращение вокруг оси с моментом инерции <math>I_3</math> тоже устойчиво.

Теперь применим эти рассуждения к случаю вращения относительно оси с моментом инерции <math>I_2</math>. В этот раз <math>\dot{\omega}_{2}</math> очень мала. Следовательно, зависимостью от времени <math>\omega_2</math> можно пренебречь.

Теперь дифференцируем по времени уравнение (1) и подставим <math>\dot{\omega}_3</math> из уравнения (3):

<math>

\begin{align} I_1 I_3 \ddot{\omega}_{1}&= (I_2-I_3) (I_1-I_2) \omega_{2}^2\omega_1.\\ \end{align} </math> Обратим внимание, что знаки у <math>\omega_1</math> и <math>\ddot\omega_1</math> одинаковые, поскольку все три множителя <math>(I_2-I_3),</math> <math>(I_1-I_2)</math> и <math>\omega_{2}^2</math> положительны. Следовательно, изначально малая скорость <math>\omega_1</math> будет экспоненциально нарастать до тех пор, пока <math>\dot{\omega}_{2}</math> не перестанет быть малой и характер вращения вокруг оси 2 не изменится. Таким образом, даже небольшие возмущения вдоль других осей заставляют объект «переворачиваться».

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ См., например: Шаблон:Сивухин
  4. ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Free access
  5. ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Free access:
    «

    Если мгновенный полюс [вращения] совпадает с Шаблон:Разрядка или Шаблон:Разрядка полюсом эллипсоида [инерции] и под действием импульса какой-либо малой возмущающей пары [сил] отклоняется на небольшое расстояние от него, то он не будет удаляться дальше, а будет описывать свой полоид вокруг этого конкретного полюса эллипсоида. Но происходит по-другому, когда мгновенный полюс совпадает со Шаблон:Разрядка полюсом эллипсоида; ибо при любом малейшем смещении он будет удаляться все дальше и дальше и продолжать описывать свой полоид вокруг большего или меньшего полюса в зависимости от того, направлено ли это случайное возмущение к увеличению или уменьшению расстояния касательной плоскости пары от центра эллипсоида. Если же возмущение таково, что это расстояние не изменяется, что происходит в направлениях двух конкретных эллипсов, пересекающихся на среднем полюсе, то мгновенный полюс будет описывать эллипс, вдоль которого он начал движение, или, скорее, половину этого эллипса, пока он не достигнет противоположного среднего полюса, что является наибольшим возмущением, которое может испытать тело; между тем, если бы движение полюса было начато вдоль другой половины этого эллипса, он немедленно вернулся бы к тому же среднему полюсу, что является наименьшим возможным возмущением. Поэтому имеется единственный случай, когда мгновенная ось, отведенная в сторону от средней оси, с которой она совпала вначале, не только не удаляется дальше от нее, но даже возвращается к ней тотчас же, пока ее удаление не станет меньше любой заданной величины. Но во всех других случаях она начинает описывать эллиптический конус вокруг большой или малой оси или следовать плоскости одного или второго эллипса, о которых я упоминал; и мы можем сказать, что вращательное движение вокруг средней оси не имеет никакой стабильности.

    		»
    — Анонимус
  6. ↑ Шаблон:Книга
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Эффект_Джанибекова&oldid=11412523