The Cornish–Fisher expansion is an asymptotic expansion used to approximate the quantiles of a probability distribution based on its cumulants.[1][2][3][4]
It is named after E. A. Cornish and R. A. Fisher, who first described the technique in 1937.[1]
Definition
For a random variable X with mean μ, variance σ², and cumulants κn, its quantile yp at order-of-quantile p can be estimated as <math>y_p \approx \mu + \sigma w_p</math> where:[3]
- <math>
\begin{align}
w_p &=& x &+ \left[\gamma_1 h_1(x)\right]\\
&&&+ \left[\gamma_2 h_2(x) + \gamma_1^2 h_{11}(x)\right]\\
&&&+ \left[\gamma_3 h_3(x) + \gamma_1\gamma_2 h_{12}(x) + \gamma_1^3 h_{111}(x)\right]\\
&&&+ \cdots\\
\end{align}
</math>
- <math>
\begin{align}
x &= \Phi^{-1}(p)\\
\gamma_{r - 2} &= \frac{\kappa_r}{\kappa_2^{r/2}};\; r \in \{3, 4, \ldots\}\\
h_1(x) &= \frac{\mathrm{He}_2(x)}{6}\\
h_2(x) &= \frac{\mathrm{He}_3(x)}{24}\\
h_{11}(x) &= -\frac{\left[2\mathrm{He}_3(x) + \mathrm{He}_1(x)\right]}{36}\\
h_3(x) &= \frac{\mathrm{He}_4(x)}{120}\\
h_{12}(x) &= -\frac{\left[\mathrm{He}_4(x) + \mathrm{He}_2(x)\right]}{24}\\
h_{111}(x) &= \frac{\left[12\mathrm{He}_4(x) + 19\mathrm{He}_2(x)\right]}{324}
\end{align}
</math>
where Hen is the nth probabilists' Hermite polynomial. The values γ1 and γ2 are the random variable's skewness and (excess) kurtosis respectively. The value(s) in each set of brackets are the terms for that level of polynomial estimation, and all must be calculated and combined for the Cornish–Fisher expansion at that level to be valid.
Example
Let X be a random variable with mean 10, variance 25, skew 5, and excess kurtosis of 2. We can use the first two bracketed terms above, which depend only on skew and kurtosis, to estimate quantiles of this random variable. For the 95th percentile, the value for which the standard normal cumulative distribution function is 0.95 is 1.644854, which will be x. The w weight can be calculated as:
- <math>
\begin{align}
1.644854 &+ 5\cdot\frac{1.644854^2 - 1}{6}\\
&+ 2\cdot\frac{1.644854^3 - 3\cdot 1.644854}{24} - 5^2\frac{2\cdot 1.644854^3 - 5\cdot 1.644854}{36}
\end{align}
</math>
or about 2.55621. So the estimated 95th percentile of X is 10 + 5×2.55621 or about 22.781. For comparison, the 95th percentile of a normal random variable with mean 10 and variance 25 would be about 18.224; it makes sense that the normal random variable has a lower 95th percentile value, as the normal distribution has no skew or excess kurtosis, and so has a thinner tail than the random variable X.
References
Шаблон:Reflist
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|