In mathematics, the Dini and Dini–Lipschitz tests are highly precise tests that can be used to prove that the Fourier series of a function converges at a given point. These tests are named after Ulisse Dini and Rudolf Lipschitz.[1]
Definition
Let Шаблон:Mvar be a function on [0,2Шаблон:Pi], let Шаблон:Mvar be some point and let Шаблон:Mvar be a positive number. We define the local modulus of continuity at the point Шаблон:Mvar by
- <math>\left.\right.\omega_f(\delta;t)=\max_{|\varepsilon| \le \delta} |f(t)-f(t+\varepsilon)|</math>
Notice that we consider here Шаблон:Mvar to be a periodic function, e.g. if Шаблон:Math and Шаблон:Mvar is negative then we define Шаблон:Math.
The global modulus of continuity (or simply the modulus of continuity) is defined by
- <math>\omega_f(\delta) = \max_t \omega_f(\delta;t)</math>
With these definitions we may state the main results:
- Theorem (Dini's test): Assume a function Шаблон:Mvar satisfies at a point Шаблон:Mvar that
- <math>\int_0^\pi \frac{1}{\delta}\omega_f(\delta;t)\,\mathrm{d}\delta < \infty.</math>
- Then the Fourier series of Шаблон:Mvar converges at Шаблон:Mvar to Шаблон:Math.
For example, the theorem holds with Шаблон:Math but does not hold with Шаблон:Math.
- Theorem (the Dini–Lipschitz test): Assume a function Шаблон:Mvar satisfies
- <math>\omega_f(\delta)=o\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{-1}.</math>
- Then the Fourier series of Шаблон:Mvar converges uniformly to Шаблон:Mvar.
In particular, any function of a Hölder classШаблон:Clarify satisfies the Dini–Lipschitz test.
Precision
Both tests are the best of their kind. For the Dini-Lipschitz test, it is possible to construct a function Шаблон:Mvar with its modulus of continuity satisfying the test with [[Big O notation|Шаблон:Mvar instead of Шаблон:Mvar]], i.e.
- <math>\omega_f(\delta)=O\left(\log\frac{1}{\delta}\right)^{-1}.</math>
and the Fourier series of Шаблон:Mvar diverges. For the Dini test, the statement of precision is slightly longer: it says that for any function Ω such that
- <math>\int_0^\pi \frac{1}{\delta}\Omega(\delta)\,\mathrm{d}\delta = \infty</math>
there exists a function Шаблон:Mvar such that
- <math>\omega_f(\delta;0) < \Omega(\delta)</math>
and the Fourier series of Шаблон:Mvar diverges at 0.
See also
References
Шаблон:Reflist
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|