Шаблон:Short description
In quantum field theory, the Dirac adjoint defines the dual operation of a Dirac spinor. The Dirac adjoint is motivated by the need to form well-behaved, measurable quantities out of Dirac spinors, replacing the usual role of the Hermitian adjoint.
Possibly to avoid confusion with the usual Hermitian adjoint, some textbooks do not provide a name for the Dirac adjoint but simply call it "ψ-bar".
Definition
Let <math>\psi</math> be a Dirac spinor. Then its Dirac adjoint is defined as
- <math>\bar\psi \equiv \psi^\dagger \gamma^0</math>
where <math>\psi^\dagger</math> denotes the Hermitian adjoint of the spinor <math>\psi</math>, and <math>\gamma^0</math> is the time-like gamma matrix.
Spinors under Lorentz transformations
The Lorentz group of special relativity is not compact, therefore spinor representations of Lorentz transformations are generally not unitary. That is, if <math>\lambda</math> is a projective representation of some Lorentz transformation,
- <math>\psi \mapsto \lambda \psi</math>,
then, in general,
- <math>\lambda^\dagger \ne \lambda^{-1}</math>.
The Hermitian adjoint of a spinor transforms according to
- <math>\psi^\dagger \mapsto \psi^\dagger \lambda^\dagger</math>.
Therefore, <math>\psi^\dagger\psi</math> is not a Lorentz scalar and <math>\psi^\dagger\gamma^\mu\psi</math> is not even Hermitian.
Dirac adjoints, in contrast, transform according to
- <math>\bar\psi \mapsto \left(\lambda \psi\right)^\dagger \gamma^0</math>.
Using the identity <math>\gamma^0 \lambda^\dagger \gamma^0 = \lambda^{-1}</math>, the transformation reduces to
- <math>\bar\psi \mapsto \bar\psi \lambda^{-1}</math>,
Thus, <math>\bar\psi\psi</math> transforms as a Lorentz scalar and <math>\bar\psi\gamma^\mu\psi</math> as a four-vector.
Usage
Using the Dirac adjoint, the probability four-current J for a spin-1/2 particle field can be written as
- <math>J^\mu = c \bar\psi \gamma^\mu \psi</math>
where c is the speed of light and the components of J represent the probability density ρ and the probability 3-current j:
- <math>\boldsymbol J = (c \rho, \boldsymbol j)</math>.
Taking Шаблон:Nowrap and using the relation for gamma matrices
- <math>\left(\gamma^0\right)^2 = I</math>,
the probability density becomes
- <math>\rho = \psi^\dagger \psi</math>.
See also
References
- B. Bransden and C. Joachain (2000). Quantum Mechanics, 2e, Pearson. Шаблон:ISBN.
- M. Peskin and D. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. Шаблон:ISBN.
- A. Zee (2003). Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press. Шаблон:ISBN.
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|