Шаблон:Short description
Шаблон:More citations needed
In mathematics, the Fatou–Lebesgue theorem establishes a chain of inequalities relating the integrals (in the sense of Lebesgue) of the limit inferior and the limit superior of a sequence of functions to the limit inferior and the limit superior of integrals of these functions. The theorem is named after Pierre Fatou and Henri Léon Lebesgue.
If the sequence of functions converges pointwise, the inequalities turn into equalities and the theorem reduces to Lebesgue's dominated convergence theorem.
Statement of the theorem
Let f1, f2, ... denote a sequence of real-valued measurable functions defined on a measure space (S,Σ,μ). If there exists a Lebesgue-integrable function g on S which dominates the sequence in absolute value, meaning that |fn| ≤ g for all natural numbers n, then all fn as well as the limit inferior and the limit superior of the fn are integrable and
- <math>
\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
\le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu
\le \limsup_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu
\le \int_S \limsup_{n\to\infty} f_n\,d\mu\,.
</math>
Here the limit inferior and the limit superior of the fn are taken pointwise. The integral of the absolute value of these limiting functions is bounded above by the integral of g.
Since the middle inequality (for sequences of real numbers) is always true, the directions of the other inequalities are easy to remember.
Proof
All fn as well as the limit inferior and the limit superior of the fn are measurable and dominated in absolute value by g, hence integrable.
The first inequality follows by applying Fatou's lemma to the non-negative functions <math>f_n + g</math> and using the linearity of the Lebesgue integral. The last inequality follows by applying reverse Fatou lemma to the non-negative functions <math>g-f_n</math>, dominated by <math>2g</math>.
Since g also dominates the limit superior of the |fn|,
- <math>0\le\biggl|\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\biggr|
\le\int_S \Bigl|\liminf_{n\to\infty} f_n\Bigr|\,d\mu
\le\int_S \limsup_{n\to\infty} |f_n|\,d\mu
\le\int_S g\,d\mu</math>
by the monotonicity of the Lebesgue integral. The same estimates hold for the limit superior of the fn.
References
External links
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|