Шаблон:Short description
In algebraic geometry, the Grothendieck trace formula expresses the number of points of a variety over a finite field in terms of the trace of the Frobenius endomorphism on its cohomology groups. There are several generalizations: the Frobenius endomorphism can be replaced by a more general endomorphism, in which case the points over a finite field are replaced by its fixed points, and there is also a more general version for a sheaf over the variety, where the cohomology groups are replaced by cohomology with coefficients in the sheaf.
The Grothendieck trace formula is an analogue in algebraic geometry of the Lefschetz fixed-point theorem in algebraic topology.
One application of the Grothendieck trace formula is to express the zeta function of a variety over a finite field, or more generally the L-series of a sheaf, as a sum over traces of Frobenius on cohomology groups. This is one of the steps used in the proof of the Weil conjectures.
Behrend's trace formula generalizes the formula to algebraic stacks.
Formal statement for L-functions
Let k be a finite field, l a prime number invertible in k, X a smooth k-scheme of dimension n, and <math>\mathcal{F}</math> a constructible <math>\mathbb{Q}_l</math>-sheaf on X. Then the following cohomological expression for the L-function of <math>\mathcal{F}</math> holds:
- <math>L(X, \mathcal{F}, t) = \prod_{i=0}^{2n} \det(1 - t\cdot F \,\, | \,\, H^i_c(X_{\bar{k}}, \mathcal{F}))^{(-1)^{i+1}} = \frac{\det(1 - t \cdot F \,\, | \,\, H^1_c(X_{\bar{k}}, \mathcal{F})) \cdots \det(1 - t \cdot F \,\, | \,\, H^{2n-1}_c(X_{\bar{k}}, \mathcal{F}))}{\det(1 - t \cdot F \,\, | \,\, H^0_c(X_{\bar{k}}, \mathcal{F})) \cdots \det(1 - t \cdot F \,\, | \,\, H^{2n}_c(X_{\bar{k}}, \mathcal{F}))} </math>
where F is everywhere a geometric Frobenius action on l-adic cohomology with compact supports of the sheaf <math>\mathcal{F}</math>. Taking logarithmic derivatives of both formal power series produces a statement on sums of traces for each finite field extension E of the base field k:
- <math>\sum_{x \in X(E)} \operatorname{tr}(F_E \,\, | \,\, \mathcal{F}_x) = \sum_{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname{tr}(F_E \,\, | \,\, H^i_c(X_{\bar{k}}, \mathcal{F}))</math>
For a constant sheaf <math>\mathbb{Q}_l</math> (viewed as <math>(\varprojlim \mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Q}</math> to qualify as an l-adic sheaf) the left hand side of this formula is the number of E-points of X.
References
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|