Русская Википедия:K-функция
Материал из Онлайн справочника
K-функция, обычно обозначаемая <math>K(z)</math>, является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.
Формально, K-функция определяется, как
- <math>K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].</math>
Также определяется в замкнутой форме:
- <math>K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]</math>
где ζ'(z) обозначает производную дзета-функции Римана, ζ(a,z) — это дзета-функция Гурвица и
- <math>\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.</math>
K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса; для целых чисел n можно написать:
- <math>K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.</math>
Также
- <math>K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.</math>
Для положительных аргументов принимает минимальное значение <math>0{,}879786843\dots</math> в точке <math>x_\mathrm{min}=0{,}53768886\dots.</math>
Ссылки