Русская Википедия:N-мерная грань
В стереометрии грань — это плоская поверхность (плоская область, например — многоугольник или круг), которая образует часть границы твердого объекта;[1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник.
В технических трактовках геометрии многогранников и политопов более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего политопа (в любом количестве измерений).[2]
Многоугольник (грань)
В элементарной геометрии грань — это многоугольникШаблон:Efn на границе многогранника.[3][4] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и евклидову плоскую плитку.
Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных особенностей четырёхмерного многогранника. В этом смысле тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет два из 8 кубов, образующих тессеракт.
Многогранник | Звездный многогранник | Евклидова мозаика | Гиперболическая мозаика | 4-многогранник |
---|---|---|---|---|
{4,3} | {5/2,5} | {4,4} | {4,5} | {4,3,3} |
Файл:Hexahedron.png</img> </br> Куб имеет 3 квадратных грани у каждой вершины. |
Файл:Small stellated dodecahedron.png</img> </br> Малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграммных граней у каждой вершины. |
Файл:Tile 4,4.svg</img> </br> Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет 4 квадратных грани на каждую вершину. |
Файл:H2-5-4-primal.svg</img> </br> Квадратная мозаика пятого порядка имеет 5 квадратных граней на вершину. |
Файл:Hypercube.svg</img> </br> Тессеракт имеет 3 квадратных грани у каждого ребра. |
Количество многоугольных граней многогранника
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
- <math>V - E + F = 2,</math>
где V — количество вершин, E — количество ребер, а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем разность количества ребер и количества вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.
k-мерная грань
В многомерной геометрии грани политопа являются элементами всех измерений.[5][6][7] Грань размерности k называется k-мерной гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-мерными гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, где пустое множество для согласованности имеет «размерность» -1. Для любого политопа (n-мерного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.
Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб(3-мерная грань), его (квадратные) грани, (линейные) ребра (1-мерные грани), (точечные) вершины (0-мерные грани) и пустое множество. Ниже приведены грани 4-мерного многогранника:
- 4-мерная грань - сам 4-мерный многогранник
- 3-мерные грани - 3-мерные ячейки (многогранники)
- 2-мерные грани — 2-мерные ребра (многоугольники)
- 1-мерные грани – 1-мерные ребра
- 0-мерные грани - 0-мерные вершины
- пустое множество, имеющее размерность −1
В некоторых областях математики, таких как комбинаторика многогранников, многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника P есть пересечение P с любым замкнутым полупространством, граница которого не пересекается с внутренней частью P.[8] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество.[9][10]
В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездчатых многогранников, требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало в себя сам политоп и пустое множество.
Ячейка или трехмерная грань
Ячейка — это многогранный элемент (трехмерная грань) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или фигуры более высокой размерности. Ячейки являются гранями для четырёхмерных политопов и трехмерных мазаик.
Примеры:
четырёхмерные политопы | 3-мерные мозаики | ||
---|---|---|---|
{4,3,3} | {5,3,3} | {4,3,4} | {5,3,4} |
Файл:Hypercube.svg</img> </br> Тессеракт имеет 3 кубические ячейки на ребро. |
Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png</img> </br> 120-ячейник имеет 3 додекаэдрические ячейки на ребро. |
Файл:Partial cubic honeycomb.png</img> </br> Кубическая мозаика заполняет евклидово 3-мерное пространство кубами с 4 ячейками на каждом ребре. |
Файл:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png</img> </br> Додекаэдрические соты 4 порядка заполняют трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки на ребро. |
Фасета или (n − 1)-мерная грань
В многомерной геометрии Фасетами (также называемыми гипергранями)[11] n-мерного политопа являются (n -1)-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник).[12] Многогранник ограничен своими гранями.
Например:
- Фасетами отрезка являются его 0-мерные грани - вершины.
- Фасетами многоугольника являются его 1-мерные грани или ребра.
- Фасеты многогранника или мозаики плоскости являются их 2-мерные грани.
- Грани четырехмерного многогранника или трехмерной мозаики являются их 3-мерными гранями или ячейками.
- Гранями пятимерного многогранника или 4-мерной мозаики являются их 4-мерные грани.
Рекомендации
Шаблон:Примечания Шаблон:Изолированная статья
- ↑ Шаблон:Cite book
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Шаблон:CitationMatoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Шаблон:CitationMatoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Шаблон:Citation.
- ↑ Шаблон:Harvtxt and Шаблон:Harvtxt use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting P with either a hyperplane disjoint from the interior of P or the whole space.
- ↑ Шаблон:CitationGrünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (2nd ed.), Springer, p. 17.
- ↑ Шаблон:CitationZiegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.
- ↑ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Шаблон:ISBN Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
- ↑ Шаблон:Harvtxt, p. 87; Шаблон:Harvtxt, p. 27; Шаблон:Harvtxt, p. 17.