Русская Википедия:Q-символ Похгаммера

Материал из Онлайн справочника
Версия от 03:00, 17 июля 2023; EducationBot (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Русская Википедия/Панель перехода}} {{DISPLAYTITLE:''q''-символ Похгаммера}} '''''Q''-символ Похгаммера''', который называется также '''сдвинутым ''q''-факториалом'''{{sfn| Koekoek, Swarttouw|1998|с=7}}{{sfn|Бахтин|2017|с=6-7}}, это ''q''-аналог символа Похгаммера...»)
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториаломШаблон:SfnШаблон:Sfn, это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как

<math>(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})</math>,

при этом

<math>(a;q)_0 = 1</math>

по определению. Q-символ Похгаммера является главным строительным блоком в строительстве q-аналогов. Например, в теории Шаблон:Не переведено 5 q-символ Похгаммера играет роль, какую играет обычный символ Похгаммера в теории Шаблон:Не переведено 5.

В отличие от обычного символа Похгаммера, q-символ Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения:

<math>(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).</math>

Это аналитическая функция от q внутри единичного круга и может восприниматься как формальный степенной ряд от q. Специальный случай

<math>\varphi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>

известен как Шаблон:Нп5 и играет важную роль в комбинаторике, теории чисел и теории модулярных форм.

Тождества

Конечное произведение можно выразить через бесконечное:

<math>(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty}, </math>

что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем

<math>(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}=\prod_{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)}</math>

и

<math>(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.</math>

Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов

<math>(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n</math>

и

<math>\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n}</math>,

которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы:

<math>\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.</math>

Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и РоговаШаблон:Sfn для доказательства):

<math>\frac{(q;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_n(1-zq^n)}, \ |z|<1.</math>

Комбинаторная интерпретация

Q-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при <math>q^m a^n</math> в

<math>(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)^{-1}</math>

равен числу разбиений m на не более чем n частей.

Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество:

<math>(a;q)_\infty^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j} \right) a^k
                        = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{(q;q)_k}</math>,

как в разделе выше.

Коэффициент при <math>q^m a^n</math> в

<math>(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1+aq^k)</math>

равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей.

Если удалить треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n − 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n − 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству:

<math>(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1+aq^k)
                    = \sum_{k=0}^\infty \left(q^{k\choose 2} \prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j}\right) a^k
                    = \sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k\choose 2}}{(q;q)_k} a^k</math>

также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для <math>(q)_{\infty} := (q; q)_{\infty}</math> возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, <math>p(n)</math>, которая также разлагается в следующие два q-рядаШаблон:Sfn:

<math>\frac{1}{(q; q)_{\infty}} = \sum_{n \geq 0} p(n) q^n = \sum_{n \geq 0} \frac{q^n}{(q; q)_n} = \sum_{n \geq 0} \frac{q^{n^2}}{(q; q)_n^2}. </math>

Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов.

Соглашение о множественных аргументах

Поскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами:

<math>(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n.</math>

Q-ряды

Q-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с <math>(a; q)_{n}</math>Шаблон:Sfn. Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843)Шаблон:Sfn.

Связь с другими q-функциями

Принимая во внимание, что

<math>\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n,</math>

мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным

<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}.</math>

Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал

<math>\big[n]_q!</math> <math>=\prod_{k=1}^n [k]_q</math>
<math>= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q</math>
<math>=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}</math>
<math>=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) (1+q+\cdots + q^{n-1})</math>
<math>=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.</math>

Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над Шаблон:Не переведено 5.

Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом:

<math>\prod_{k=1}^n [-k]_q = \frac{(-1)^n\,[n]_q!}{q^{n(n+1)/2}}</math>

От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом

<math>

\begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix}_q = \frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}, </math>

откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что <math>\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ n-m \end{bmatrix}_q</math> для всех <math>0 \leqslant m \leqslant n</math>.

Можно показать, что

<math>

\begin{align} \begin{bmatrix} n+1\\ k \end{bmatrix}_q 

& =

\begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix}_q + q^{n-k+1} \begin{bmatrix} n\\ k-1 \end{bmatrix}_q \\ 

& =

\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q. \end{align} </math>

Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты <math>q</math>-биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентовШаблон:Sfn:

<math>

\begin{align} (z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\ (-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\ (q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\ \frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n. \end{align} </math>

Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый Шаблон:Не переведено 5 и определённый как

<math>\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}</math>

Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что

<math>\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)</math>

для любого x и

<math>\Gamma_q(n+1)=[n]_q!\frac{}{}.</math>

для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Q-символ_Похгаммера&oldid=8783282