Русская Википедия:Theorema Egregium
Theorema Egregium (в переводе с латыни «замечательная теорема») — исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Гауссом. В современной формулировке теорема утверждает следующее:
- Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.
Существует явная формула, выражающая гауссову кривизну через первую квадратичную форму, именно, через её коэффициенты и их частные производные первого и второго порядков. Это так называемая формула Бриоски[1].
В некоторых частных случаях, например в полугеодезических координатах, то есть в локальных координатах с первой квадратичной формой вида
- <math>du^2 + b(u,v)dv^2</math>
гауссовова кривизна выражается более простой формулой
- <math>K = - \tfrac1b\cdot\tfrac{\partial^2}{\partial u^2}b.</math>
Для вывода теоремы этого достаточно.
Теорема следует из формулы Гаусса — Бонне, если применить её к малым геодезическим треугольникам. Однако обычно выражение для гауссововой кривизны доказывается до формулы Гаусса — Бонне.
История
Гаусс сформулировал теорему следующим образом (перевод с латыни):
- Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему.
Если криволинейная поверхность разворачивается по любой другой поверхности, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной. Теорема «замечательна», поскольку авторское определение гауссовой кривизны использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат никак не зависит от изометричной деформации.
Литература
- Carlo Friedrico Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827
Примечания
