Русская Википедия:Абелево расширение
Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.
Например, расширение <math>\Q [\sqrt 2]</math> является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа <math>\sqrt 2</math> и <math>- \sqrt 2</math>. Расширение <math>\Q [\sqrt[3]{2}, \sqrt 3 i]</math> не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена <math>x^3 - 2</math> и его автоморфизмы, фиксирующие <math>\Q</math>, переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелева расширения являются циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.
Если поле содержит первообразный корень из единицы степени <math>n</math>, то расширение, полученное присоединением к нему корня степени <math>n</math> из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случаяШаблон:Уточнить это утверждение не является верным.
Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.
Ссылки
