Русская Википедия:Аддитивная энергия
Аддитивная энергия — численная характеристика подмножества группы, иллюстрирующая структурированность множества относительно групповой операции. Термин введён Теренсом Тао и Ван Ву[1].
Определение
Пусть <math>(G, +)</math> — группа.
Аддитивная энергия множеств <math>A \subset G</math> и <math>B \subset G</math> обозначается как <math>E_{+}(A, B)</math> и равна[2] количеству решений следующего уравнения:
- <math>a_1+b_1=a_2+b_2 (a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B)</math>
Аналогично можно определить мультипликативную энергию (например. в кольце) как количество <math>E_{\times}(A, B)</math> решений уравнения:
- <math>a_1 b_1 = a_2 b_2 (a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B)</math>
Экстремальные значения
Своего наименьшего значения <math>E_{+}(A,B)</math> достигает, когда все суммы <math>a+b\ (a \in A, b \in B)</math> различны (т.к., тогда уравнение выполняется только при <math>\{a_1,b_1\} = \{a_2,b_2\}</math>) — например, когда <math>A=B</math> и <math>A</math> — множество различных образующих группы <math>G</math> из какого-то минимального порождающего множества. Тогда <math>E(A,A) = \frac{|A|^2 + |A|}{2}</math>
Наибольшее значение <math>E_+(A,B)</math> достигается, когда <math>A=B</math> и <math>A</math> является подгруппой <math>G</math>. В этом случае для любого <math>x \in A</math> число решений уравнения <math>a+b=x\ (a,b \in A)</math> равно <math>|A|</math>, так что <math>E_+(A,A) = |A|^3</math>
Соответственно, промежуточные величины порядка роста <math>E_+(A,A)</math> между <math>|A|^2</math> и <math>|A|^3</math> можно рассматривать как больший или меньший показатель близости структуры <math>A</math> к структуре подгруппы. Для некоторых групп <math>G</math> определённые ограничения на аддитивную энергию позволяет доказывать структурные теоремы о существовании достаточно больших подгрупп <math>G</math> внутри <math>A</math> (или какого-то производного от него множества) и о вложимости <math>A</math> (или какого-то производного от него множества) в достаточно маленькие подгруппы <math>G</math>.[3] Ограничения на <math>G</math> для этих теорем связаны с показателем кручения группы <math>G</math> и отдельных её образующих. Однако для циклических групп и групп без кручения существуют аналогичные теоремы, рассматривающие вместо подгрупп обобщённые арифметические прогрессии.
Основные свойства
- <math>E_{+}(A, B) = E_{+}(A, -B) = E_{-}(A,B)</math>
- <math>E_{+}(A, B) |A+B| \ge |A|^2 |B|^2</math>, где <math>A+B = \left\lbrace{a+b : a \in A, b \in B}\right\rbrace</math>[2]
Для кольца вычетов по простому модулю <math>G = {\mathbb F}_p</math> аддитивную энергию можно выразить через тригонометрические суммы. Обозначим <math>e_p (k) = e^{2 \pi \frac{k}{p} i}</math>. Тогда
- <math>E_{+}(A,B) = \frac{1}{p} \sum \limits_{t = 0}^{p-1} { {\Bigg \vert {\sum \limits_{a \in A} {e_p(ta)}} \Bigg \vert}^2 {\Bigg \vert {\sum \limits_{b \in B} {e_p(tb)}} \Bigg \vert}^2 }</math>
Шаблон:Hider = \frac{1}{p} \sum \limits_{t=0}^{p-1} {\sum \limits_{a_1, a_2 \in A, b_1, b_2 \in B} {e_p (t(a_1+b_1-a_2-b_2))}}</math>
- <math>= \frac{1}{p} \sum \limits_{t=0}^{p-1} \left({ \sum \limits_{a \in A} {e_p (ta)} }\right) \overline {\left({ \sum \limits_{a \in A} {e_p (ta)} }\right)} \left({ \sum \limits_{b \in B} {e_p (tb)} }\right) \overline{\left({ \sum \limits_{b \in B} {e_p (tb)} }\right)} =
\frac{1}{p} \sum \limits_{t = 0}^{p-1} { {\Bigg \vert {\sum \limits_{a \in A} {e_p(ta)}} \Bigg \vert}^2 {\Bigg \vert {\sum \limits_{b \in B} {e_p(tb)}} \Bigg \vert}^2 }</math>
Заметим, что выражение через тригонометрические суммы справедливо только для аддитивной энергии, но не для мультипликативной, поскольку использует явно свойства сложения в <math>{\mathbb F}_p</math>.
}}
Приложения
Аддитивная и мультипликативная энергии используются в аддитивной и арифметической комбинаторике для анализа комбинаторных сумм и произведений множеств <math>A+B = \left\lbrace{a+b:A+B}\right\rbrace</math>, в частности, для доказательства теоремы сумм-произведений.
Старшие энергии
Существуют два основных обобщения уравнения, определяющего аддитивную энергию - по количеству слагаемых и по количеству равенств:
- <math>E_k(A) = \#\left\lbrace{a_1-b_1 = a_2-b_2 = \dots = a_k-b_k\ :\ a_i, b_i \in A}\right\rbrace = \sum \limits_{s} {|A \cap (A + s)|^k}</math>
- <math>T_k(A) = \#\left\lbrace{\sum \limits_{i=1}^{k} {x_i} = \sum \limits_{i=1}^{k} {y_i}\ :\ x_i, y_i \in A}\right\rbrace</math>
Они называются старшими энергиямиШаблон:Sfn и иногда возможно получить оценки на них, не получая оценок на обычную аддитивную энергию.Шаблон:Sfn[4] В то же время неравенство Гёльдера позволяет (со значительным ухудшением) оценивать обычную энергию через старшие.
Для параметра <math>k</math> в <math>E_k</math> иногда рассматриваются и вещественные, а не только целые числа (просто через подстановку в последнее выражение).Шаблон:Sfn
См. также
Литература
Примечания
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ 2,0 2,1 М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4 (394), стр. 25 (по нумерации на страницах)
- ↑ Лекции лаборатории Чебышёва, курс «Аддитивная комбинаторика» (Фёдор Петров), лекция 6, с момента 1:11:30
- ↑ Шаблон:ArXiv Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Stronger sum-product inequalities for small sets", с. 5, следствие 7
