Русская Википедия:Аксиоматика Александрова
Аксиоматика Александрова — система аксиом Евклидовой геометрии, предложенная Александром Даниловичем Александровым. Эта аксиоматика частично использовалась в учебнике по геометрии написанного Александровым совместно с Алексеем Леонидовичем Вернером и Валерием Идельевичем Рыжиком.
Аксиомы
Основные объекты
- точки; обозначаются, обычно: A, B, и т. п.
- отрезки; обозначаются, обычно: a, b, и т. п.
Основные отношения
- Точка служит концом отрезка;
- Точка лежит на отрезке (или, как ещё говорят, лежит внутри отрезка);
- Два отрезка равны друг другу (или, что равносильно, один отрезок равен другому).
- Отрезок <math>a</math> содержится в отрезке <math>b</math> (в записи: <math>a\subset b</math>), если все его точки являются также точками отрезка <math>b</math>.
- Отрезки <math>a</math>, <math>b</math> образуют отрезок c (в записи: <math>a \cup b = c</math>), если они содержатся в <math>c</math> и у <math>c</math> нет точек, не принадлежащих им.
- Отрезок <math>a</math> отложен вдоль отрезка <math>b</math> от его конца <math>A</math>, если у этих отрезков есть общий конец <math>A</math> и один содержится в другом.
- Два отрезка пересекаются, если на них есть единственная общая точка.
Линейные аксиомы
Аксиомы связи
- (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок; у каждого отрезка есть два и только два конца; кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.
- (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.
- (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т. е. если С на АВ, то отрезки АС, ВС образуют вместе отрезок АВ и не имеют общих точек кроме С.
- (аксиома соединения отрезков). Если точка С лежит на отрезке АВ, а В на CD, то отрезки АВ,CD образуют отрезок AD.
Аксиомы равенства
- (аксиома откладывания отрезка). При любых двух отрезках АВ, MN существует и притом единственный отрезок АС, равный MN и налегающий на АВ.
- (аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
- (аксиома сложения). Если С на АВ, С' на A'B' и АС = А'С' и ВС = В'С' то AB = A'B'.
- (аксиома Архимеда). При любых данных отрезках a, b = АВ существует содержащий АВ отрезок <math>AA_n</math>, на котором есть такие точки <math>A_1,\dots,A_n</math>, что
- <math>AA_1=A_1A_2 =\dots = A_{n-1}A_n=a</math>.
Аксиома непрерывности
- Если имеется бесконечная последовательность вложенных отрезков, т. е. если <math>a_1\supset a_2\supset\dots</math> то существует точка, общая всем этим отрезкам.
Плоскостные аксиомы
Точки CD лежат с одной стороны от а, если отрезок CD не пересекает никакого отрезка, содержащего а.
Точки А, В лежат с разных сторон от а, если напротив, отрезок АВ пересекает какой-либо отрезок, содержащий а.
- (аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку а все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем а, делятся на два класса — в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от а, а в другой точки, лежащие с другой стороны от а, причем в каждом классе есть точки.
Угол — это пара отрезков с общим концом, эти отрезки — стороны угла, их общий конец — вершина угла. Если при этом каждый из отрезков лежит целиком с одной стороны от другого, т.е. все его точки, кроме общего конца, лежат с одной стороны то угол, образованный отрезками, называется настоящим.
Поперечиной угла мы называем отрезок с концами на сторонах угла. Поперечины А В, А'В' углов О, O' соответственные, если ОА = O'A', OB = O'B'. Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины.
- (аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному (настоящему) углу. При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие образуют вместе один отрезок не налегая друг на друга.
Угол равный своему смежному, называется прямым.
- (аксиома параллельных отрезков) Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка АВ под прямым углом, то CD = АВ.
Литература
- Александров А. Д. Основания геометрии. — 1987.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
