Русская Википедия:Альтернативная алгебра

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.

Связь с алгеброй Мальцева

Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения g(A,B) в альтернативной алгебре M операцией коммутатора [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру Мальцева <math>M^{(-)}</math>.

Ассоциатор

С использованием ассоциатора

<math>[x,y,z] = (xy)z - x(yz)</math>

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид

<math>[x,x,y] = 0</math>

<math>[y,x,x] = 0</math>

для любых элементов <math>x</math> и <math>y.</math> Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

<math>[x,y,z] + [y,x,z] = 0</math>

<math>[x,y,z] + [x,z,y] = 0</math>

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

<math>[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]</math>

где <math>\sigma</math> — перестановка элементов <math>x,y,z,</math> <math>\mathrm{sgn}\,\sigma</math> — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

<math>x(xy) = (xx)y</math>

<math>(yx)x = y(xx)</math>

<math>(xy)x = x(yx)</math>

откуда сразу следует третье из тождеств.

Литература

• Книга:Общая алгебра
• Шаблон:Книга

См. также

• Алгебра Ли
• Алгебра Мальцева