Русская Википедия:Арифметическая функция
Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> и принимающая значения из множества комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>.
Определение
Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция
f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{C}
</math>Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций <math>f(n)</math> натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства <math>n</math>. Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию <math>f(n)</math>, которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа <math>n</math> (см. примеры арифметических функций ниже).
Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.
Операции и связанные понятия
- Суммой арифметической функции <math>f</math> называют функцию <math>F:[0,+\infty)\to \Complex</math>, определённую как
- <math>
F(x)=\sum_{n\le x} f(n). </math> Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на <math>\N</math>, её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).
- Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу
- <math>
h(n)=\sum_{d|n} f(d) g(n/d). </math>
- Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле
- <math>
\Phi_f(s)=\sum_n f(n) n^{-s}. </math> При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.
- Поточечное умножение на логарифм,
- <math>f\mapsto f', \quad f'(n)=f(n) \cdot \ln n,</math>
является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,
- <math>
(f*g)' = f'*g + f*g'. </math> Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.
Известные арифметические функции
Число делителей
Арифметическая функция <math>\tau \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> определяется как число положительных делителей натурального числа <math>n</math>:
Если <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты, то каждый делитель произведения <math>mn</math> может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей <math>m</math> и делителей <math>n</math>, и обратно, каждое такое произведение является делителем <math>mn</math>. Отсюда следует, что функция <math>\tau</math> мультипликативна:
Если <math>n = \prod_{i=1}^{r} p_i^{s_i}</math> — каноническое разложение натурального <math>n</math>, то в силу мультипликативности
Так как положительными делителями числа <math>p_i^{s_i}</math> являются <math>s_i+1</math> чисел <math>1, p_i, \ldots, p_i^{s_i}</math>, то
Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как <math>\ln n</math>[1]. Более точно — см. формулу Дирихле.
Сумма делителей
Шаблон:Main Функция <math>\sigma \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> определяется как сумма делителей натурального числа <math>n</math>:
Обобщая функции <math>\tau(n)</math> и <math>\sigma(n)</math> для произвольного, вообще говоря комплексного <math>k</math>, можно определить <math>\sigma_k(n)</math> — сумму <math>k</math>-х степеней положительных делителей натурального числа <math>n</math>:
Используя нотацию Айверсона, можно записать
Функция <math>\sigma_k</math> мультипликативна:
m \perp n \Rightarrow ~\sigma_k (mn) = \sigma_k (m) \sigma_k (n)
</math>Если <math>n = \prod_{i=1}^{r} p_i^{s_i}</math> — каноническое разложение натурального <math>n</math>, то
Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть <math>c=\zeta(2)=\pi^2/6</math>[1].
Функция Эйлера
Шаблон:Main Функция Эйлера <math>\varphi(n)</math>, или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих <math>n</math>, взаимно простых с <math>n</math>.
Пользуясь нотацией Айверсона, можно записать:
\varphi(n) = \sum_{1 \leq k \leq n} [k \perp n]
</math>Функция Эйлера мультипликативна:
m \perp n \Rightarrow ~\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)
</math>В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:
\varphi (n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1} \right) \left(1 - \frac{1}{p_2} \right) \dots \left(1 - \frac{1}{p_r} \right)
</math>где <math>p_1, p_2, \ldots, p_r</math> — различные простые делители <math>n</math>.
Функция Мёбиуса
Шаблон:Main Функцию Мёбиуса <math>\mu(n)</math> можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:
\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1\\ 0,&n>1 \end{cases}
</math>То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа <math>n</math> равна нулю, если <math>n>1</math>, и равна <math>1</math>, если <math>n=1</math>.
Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:
\mu(n) = \begin{cases} (-1)^r, & n = p_1 p_2 \ldots p_r \\ 0, & p^2 | n \\ 1, & n=1 \end{cases}
</math>Здесь <math>p_i</math> — различные простые числа, <math>p</math> — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса <math>\mu(n)</math> равна <math>0</math>, если <math>n</math> не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна <math>\pm 1</math> в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей <math>n</math>).
Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.
Примечания
См. также
Литература
