Русская Википедия:Архимедова спираль
Архиме́дова спира́ль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см. рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
Свойства этой спирали описаны древнегреческим учёным Архимедом в его сочинении «Шаблон:Iw».
Описание
Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:
- (1) <math>\rho = k\varphi,</math>
где k — смещение точки M по лучу r при повороте на угол, равный одному радиану.
Повороту прямой на <math>2\pi</math> соответствует смещение a = |BM| = |MA| = <math>2k\pi</math>. Число a — называется «шагом спирали». Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:
- <math>\rho = \frac{a}{2\pi}\varphi.</math>
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. рис. 2), при вращении по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).
Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям <math>\varphi</math> соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.
Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали <math>a = 2k\pi</math>. При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.
Площадь сектора
Площадь <math>S</math> сектора OCM:
- <math>\left(2 \right)</math> <math>S = \frac{1}{6} \varphi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)</math>,
где <math>\rho = OC</math>, <math>\rho' = OM</math>, <math>\varphi = \angle COM</math>.
При <math>\rho = 0</math>, <math>\rho' = a</math>, <math>\varphi = 2\pi</math>, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:
- <math>S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1</math>,
где <math>S'_1</math> — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — <math>a</math>.
Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.
Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
Бесконечно малый отрезок дуги <math>dl</math> равен (см. рис.3):
- <math>dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}</math>,
где <math>d\rho</math> — приращение радиуса <math>\rho</math>, при приращении угла <math>\varphi</math> на <math>d\varphi</math>. Для бесконечно малого приращения угла <math>d\varphi</math> справедливо:
- <math>dh^2 = \left(\rho d \varphi \right)^2</math>.
Поэтому:
- <math>dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \varphi^2}</math>
так как <math>\rho = k\varphi</math> и
- <math>d \rho = k d \varphi</math>
или
- <math>dl = \sqrt{k^2 d \varphi^2 + k^2 \varphi^2 d \varphi^2}</math>
- <math>dl = k d \varphi \sqrt{1 + \varphi^2}</math>.
Длина дуги <math>L</math> равна интегралу от <math> dl </math> по <math> d \varphi </math> в пределах от <math> 0 </math> до <math> \varphi</math>:
- <math> L = \int\limits_{0}^ {\varphi} k \sqrt{1 + \varphi^2} d \varphi</math>
- <math> L = \frac{k}{2} \left[ \varphi \sqrt{1 + \varphi^2} + \ln \left( \varphi + \sqrt{1 + \varphi^2}\right) \right]</math>.[1]
Трёхмерное обобщение
Трёхмерным обобщением архимедовой спирали можно считать проекцию конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса.
Примечания
Ссылки
