Русская Википедия:Ассоциатор
Ассоциатор в общей алгебре — трилинейное отображение <math>R\times R\times R \to R</math> над кольцом (не обязательно ассоциативным) <math>R</math>, определяемое по формуле:
- <math>[x,y,z] = (xy)z - x(yz)</math>.
Подобно тому, как коммутатор измеряет «степень некоммутативности» кольца, ассоциатор измеряет его «степень неассоциативности». А именно, ассоциатор трёх элементов равен нулю тогда и только тогда, когда их умножение в заданном порядке является ассоциативным. Если ассоциатор всех элементов кольца равен 0, то кольцо ассоциативно.
Свойства
В любом кольце для ассоциатора верно тождество:
- <math>w[x,y,z] + [w,x,y]z = [wx,y,z] - [w,xy,z] + [w,x,yz]</math>.
Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть:
- <math>[x_1,x_2,x_3] = \operatorname{sgn}\sigma [x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)}]</math>,
где <math>\sigma</math> — перестановка трёх элементов, а <math>\operatorname{sgn}\sigma</math> — чётность этой перестановки.
Теория категорий
В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм:
- <math> a_{x,y,z} : (x \otimes y)\otimes z \mapsto x\otimes (y\otimes z)</math>.
Произведение здесь понимается в смысле произведения в моноидальной категории.
Литература
